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No.1
- 回答日時:
>P(x)を(X^2+x+1)(x^2-1)で割ったときの余り
4次式で割っていますから、余りは3次式(以下)となるので、商をQ(x)とすれば、
P(x)= (x^2+x+1)(x^2-1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d と書けます。 ・・・(1)
つまり、このa,b,c,d を求めます。
x^2-1 で割った余りが4だと言っています。
(x+1)(x-1) で割った余りが4ということです。この商をR(x)とすれば、
P(x)=(x+1)(x-1)R(x) +4 ということですから
P(1)=4
P(-1)=4
ですね。(剰余定理)
(1)の式に代入してやれば、
P(1) = a + b + c + d = 4
P(-1)= -a + b - c + d = 4
上の式から下の式を引いてやれば、2a + 2c = 0 すなわち c = -a ・・・・(2)
これを、上の式に代入すれば、a + b - a + d =4
つまり、b + d = 4 ・・・・・・・・・・・(3)
さて。
>P(x)は、X^2+X+1で割ると2X+1余り
と言っています。(1)の式から、
P(x)= (x^2+x+1)(x^2-1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d
この余りは、後半部分 「ax^3 + bx^2 + cx + d」 から出てくることが分かります。
(前半部分は x^2 + x + 1 で割りきれますから)
では、ax^3 + bx^2 + cx + d を x^2 + x + 1 で割ってみる。
_______________
x^2 + x + 1 ) ax^3 + bx^2 + cx + d
筆算で割っていってください。
ここで出た余りは (c- b) x + (d - b + a) となりますが、これが2x +1 ということですので、
c - b = 2 ・・・・・・・(4)
d - b + a = 1 ・・・・ (5)
あとは、(2)~(5) を解けば、a,b,c,d が出ます。
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