28より大きい完全数を求める方法

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質問者：betanm
質問日時：2012/06/12 19:19
回答数：3件

その数が完全数かどうかを判定するのは容易にできますが、

ある数よりも大きい自然数の中で、最小の完全数を見つけたい場合、
そのすべてを調べて行く方法以外に良い方法はありますか？

方程式を作ってみようとしましたが、上手くいきません。

ヒントだけでも良いのでお願いいたします。

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： ta20000005
回答日時：2012/06/12 20:13

奇数の完全数についてはあるのかないのかすらまだわかっていませんが、偶数の完全数についてはユークリッド原論にも式が書かれていて、それがすべてであることがオイラーによって証明されています。

Nが偶数の完全数であるための必要十分条件は、(2^k)-1が素数になるような自然数kを用いて
N=(2^(k-1))((2^k)-1)
と書けることである。

なお、(2^k)-1が素数になるためにはkが素数でなければならないことが容易に示されます(kが素数でも(2^k)-1が素数でない場合はある)ので、kに素数を代入しながら確かめれば偶数の完全数を並べることができます。
なお、この(2^k)-1の形をした数をメルセンヌ数といいます。メルセンヌ数が素数かどうかはうまい判定法があるため、現在大きな素数を探す時は、だいたいメルセンヌ素数を探すようにしています。実際今確認されている最大の素数もその次の素数もメルセンヌ素数ですし、したがって、それを用いて巨大な完全数を計算できる理屈になります。