No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
問題読み間違えてました。Vp
=ω/k
=√{(g/k) tanh (kh) }
Vg
=dω/dk
=d[√{gk tanh (kh) }]/dk
=[{g tanh (kh) }+{gkh *{(e^(kh) + e^(-kh))^2 - (e^(kh) - e^(-kh))^2 } / (e^(kh) + e^(-kh))^2}]/[2√{gk tanh (kh) }]
=1/2*[√{(g/k) tanh (kh) }- h√(gk) {1 + [tanh(kh)]^2}/√{ tanh (kh) }]
=1/2*[√{(g/k) tanh (kh) }- kh√{(g/k) tanh (kh) }* {[1 / tanh(kh)]+ tanh(kh)}
ここで、[1 / tanh(kh)]+ tanh(kh)=2/sinh(2kh)より、
Vg
=Vp/2*[1+2kh/sinh(2kh)]
↑1、答え
2は2kh/sinh(2kh)<1を示せばよい。
2kh/sinh(2kh)<1
sinh(2kh) > 2kh
e^(2kh)-e^(-2kh) > 4kh
2kh=xと置いて、
e^(x)-e^(-x) > 2xを示す。
ω=√{gk tanh (kh) }より、x≤0は物理的にありえない。
よって、x>0。
テイラー展開をすると、
e^(x)-e^(-x) = 2(x+x^3/3!+x^5/5!+…)
→ e^(x)-e^(-x) > 2x
終了■
したがって、Vp>Vg 。
No.1
- 回答日時:
1、合成関数の微分、tanhの微分を調べればできます。
tanhx=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))として解いた方が解きやすいですかね。
2、単純に比較でできます。Vpの計算をすると、Vp=Vg+…となります。
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