群速度と位相速度

ω=√{gk tanh (kh) }
位相速度　Vp=ω/k
群速度　　Vg=dω/dk　のとき

１、群速度Vgを計算せよ。
２、Vp＞Vg を示せ。

の答えを教えてもらえませんか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/27 01:37

No.1です。

問題読み間違えてました。

Vp
=ω/k　
=√{(g/k) tanh (kh) }

Vg
=dω/dk　
=d[√{gk tanh (kh) }]/dk
=[{g tanh (kh) }+{gkh *{(e^(kh) + e^(-kh))^2 - (e^(kh) - e^(-kh))^2 } / (e^(kh) + e^(-kh))^2}]/[2√{gk tanh (kh) }]
=1/2*[√{(g/k) tanh (kh) }- h√(gk) {1 + [tanh(kh)]^2}/√{ tanh (kh) }]
=1/2*[√{(g/k) tanh (kh) }- kh√{(g/k) tanh (kh) }* {[1 / tanh(kh)]+ tanh(kh)}

ここで、[1 / tanh(kh)]+ tanh(kh)=2/sinh(2kh)より、

Vg
=Vp/2*[1+2kh/sinh(2kh)]

↑１、答え

２は2kh/sinh(2kh)＜1を示せばよい。

2kh/sinh(2kh)＜1
sinh(2kh) > 2kh
e^(2kh)-e^(-2kh) > 4kh

2kh=xと置いて、
e^(x)-e^(-x) > 2xを示す。

ω=√{gk tanh (kh) }より、x≤0は物理的にありえない。
よって、x>0。

テイラー展開をすると、
e^(x)-e^(-x) = 2(x+x^3/3!+x^5/5!+…)
→ e^(x)-e^(-x) > 2x

終了■

したがって、Vp＞Vg 。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
わかりやすくて助かりました(^^)

お礼日時：2012/06/27 08:54

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/26 15:41

１、合成関数の微分、tanhの微分を調べればできます。

tanhx=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))として解いた方が解きやすいですかね。

２、単純に比較でできます。Vpの計算をすると、Vp=Vg+…となります。