アステロイドは6次曲線

アステロイドと呼ばれる曲線は、xy平面で、
x^(2/3)+y^(2/3)=1
と表されます。
これを3乗すると、
x^2+y^2+3x^(1/3)y^(1/3){x^(2/3)+y^(2/3)}=1
中カッコ内はもとの式から1なので、
x^2+y^2+3x^(1/3)y^(1/3)=1
移項して、
x^2+y^2-1=-3x^(1/3)y^(1/3)
3乗して、移項して、
(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0
となり6次曲線ということが分かります。

しかし、逆が示せないのです。

(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0
ならばx^(2/3)+y^(2/3)=1
を示すにはどうしたらよいのでしょうか？

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/07 20:10

最初に確認ですが

x^(2/3)+y^(2/3)=1
これだと x,y≧0　となるかと思います。
正確には

(x^2)^(1/3)+(y^2)^(1/3)=1
または
|x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1　…(◆)

とすれば、x,yは実数としてグラフが描けます（|x|≦1,|y|≦1）

本題に戻って
(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0
グラフを考えるということはx,yは実数ということですね。
|x|^(2/3)=X,|y|^(2/3)=Y (X≧0,Y≧0)…(★)とおくと
(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0
は
(X^3+Y^3-1)^3+27X^3*Y^3=0
となります。
左辺
=(X^3+Y^3-1+3XY){(X^3+Y^3-1)^2-3XY(X^3+Y^3-1)+9X^2*Y^2}
=(X^3+Y^3-1+3XY){(X^3+Y^3-1-3XY/2)^2+(27/4)X^2*Y^2}
第２因数の{ }>0より
X^3+Y^3-1+3XY=0
左辺を因数分解すると
(X+Y-1)(X^2-XY+Y^2+X+Y+1)=0
第２因数=X^2-XY+Y^2+X+Y+1=(X-Y)^2+XY+X+Y+1>0(∵X≧0,Y≧0)より
X+Y-1=0
X+Y=1

(★)の式より
|x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1

とアステロイドの曲線の式が得られます。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/07/07 19:01

途中の計算がちがうけど

最後はあってるのかな


(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0

A=x^2+y^2-1
t=x^{1/3} s=y^{1/3}とおくと

A^3 + (3t^2s^2)^3=0
(A+3t^2s^2)(A^2-3t^2s^2A+9t^4s^4)=0

A^2-3t^2s^2A+9t^4s^4 = A^2 - 3t^2s^2 A + (9/4)t^2s^2 + (27/4)t^2s^2
= (A - (3/2)ts)^2 + (27/4)t^2s^2 >=0

実際はAの定義より = はつかない

よって A+3t^2s^2=0
Aもt,sで表して
t^6+s^6-1+3t^2s^2=0
t^6 + 3t^4s^2 + 3t^2s^4 + s^6 + 3t^2s^2 - 3t^4s^2 - 3t^2s^4 - 1 = 0
(t^2 + s^2)^3 -1 + 3t^2s^2(1-s^2-t^2) = 0
(t^2 + s^2 -1) ((t^2+s^2)^2 + (t^2+s^2) + 1) + 3t^2s^2(1-s^2+t^2)=0
(t^2 + s^2 -1) { (t^2+s^2)^2 + (t^2+s^2) + 1) - 3t^2s^2 } = 0

{ }の中は
(t^2+s^2)^2 + (t^2+s^2) + 1) - 3t^2s^2
= t^4 - t^2s^2 + s^4 + t^2+s^2 + 1
= (t^2-s^2)^2 + t^2s^2 + t^2+s^2 + 1 > 0

よって
t^2+s^2-1=0
すなわち
アステロイド

検算してない上に全部オンライン書きだから
計算ミスってたらスルーして．