定積分

∫［x=0→a］x√(ax－x^2)dx (a>0) がわかりません
解答お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/08/01 06:24

√内が

　ax-x^2=(a/2)^2-(x-(a/2))^2=((a/2)^2){1-((2x-a)/a)^2}
と変形出来ることから
　(2x-a)/a=u
と置換すると良いでしょう。

u=(2x-a)/a と置換すると
x=(u+1)a/2
dx=(a/2)du
x=0のとき u=-1
x=aのとき u=1
より
I=∫[0→a］x√(ax－x^2)dx
=∫[-1→1］(u+1)(a/2)(a/2)√(1-u^2) (a/2)du
=((a/2)^3)∫[-1→1］(u+1)√(1-u^2) du
=((a/2)^3){∫[-1→1］u√(1-u^2) du+∫[-1→1］√(1-u^2) du}

前半の積分は奇関数の対称区間積分なので0,後半は偶関数の対称区間積分なので半区間積分の２倍となるから
I=2((a/2)^3)∫[0→1］√(1-u^2) du

u=sin(t)(u:0→1,t:0→π/2)と置換すると
√(1-u^2) du=cos^2(t)dt=(1/2){1+cos(2t)}dt
より
I=((a/2)^3)∫[0→π/2］{1+cos(2t)}dt
=((a/2)^3)(π/2)
=(π/16)a^3

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/08/09 01:11

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2012/07/31 23:27

∫［x=0→a］x√(ax－x^2)dx (a>0)

= πa^3/16