誘電体上の電荷密度

物質表面の電荷密度は表面電場を誘電率で割ることで得ることができます。

導電体の場合には、電気力線が表面に対して垂直なので計算は簡単ですが

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/32denjk/fig …

この絵に描かれてあるように、誘電体の場合には電気力線が90°以外の角度でも
入ることができます。

となると、誘電体上の電荷密度を計算するためには
表面に対して90°ではなく電気力線に沿った角度での電場、
すなわち電場の長さを誘電率で割る必要があるのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： el156 回答日時： 2012/08/21 00:02

>> 球の表面のうち電界の上流側と下流側では「表」が反転しますから、左半球と右半球は分極の向きが同じでも逆極性の分極電荷が生じます。

> ここの意味ももう少し詳しく説明していただけないでしょうか？

例えば電界の向きが左から右向きで分極の向きも左から右向きなら、左に負、右に正の分極電荷を生じます。誘電体球の左半球は外側が左、右半球は外側が右ですから、左半球の表面には負の分極電荷が、右半球の表面　には正の分極電荷が生じます。

No.4 回答者： el156 回答日時： 2012/08/19 22:49

> ρfというのは3次元的な電荷密度ですよね？

仰る通り、ρfは3次元的な真電荷密度です。
お礼欄リンク先のようなことをお考えなら、求めたいものは表面電荷密度で、真電荷ではなく分極電荷の密度でしょうか。No.3で提示したdiv E = ρf/εは空間のある点で成り立つ式なのでεは一つです。想定されているようなモデルを考えるには積分しなくてはなりません。しかもこの式はMacroscopicなので分極電荷を扱えません。No.2-3の答えは適切でなかったと思います。

説明を簡単にする為に、外側の空間を真空だとします。　
誘電体球内の分極Pは誘電体内部では打ち消し合っていて、誘電体の表面だけに分極電荷として現れます。
誘電体球の内側の電界は、この分極によって外側の電界の1/εrに弱まっています。(εrは誘電体球の比誘電率)
分極Pは、外側の電界と内部の電界の差に定数ε0を掛けたものです。
即ち、誘電体球の外側の電界をEx、内側の電界をEiとすれば、
P=ε0(Ex-Ei)
Ex=εrEi
です。

もしPとExの向きが同じなら、Eiも同じ向きです。この場合εrはスカラーになります。逆に言えば比誘電率をスカラーと考えることができるような場合には、P、Ex、Eiは同じ向きです。
球の表面のうち電界の上流側と下流側では「表」が反転しますから、左半球と右半球は分極の向きが同じでも逆極性の分極電荷が生じます。ということは、真ん中付近には分極電荷は生じないことになります。ですから「面積当たりの電荷」は面と電界が為す角を考慮しなくてはなりません。お礼欄のリンク先で法線ベクトルとの内積を取るのはこのためです。
「左半球と右半球には逆向きの電荷が生じ、真ん中付近には電荷が生じない」
こと自体は球が導体球で導体球表面の真電荷の分布を求めるのだとしても同じことです。
一般にはP、Ex、Eiの向きは夫々違います。ですからεrはスカラーではなくテンソルになります。この場合はPとExがどのような角度を持つかによって表面電荷密度は変わって来ます。

**** 補足説明 ****
誘電体球内の電界をEiとすれば、誘電体球内の分極Pと比誘電率εrの関係は、
P=D-ε0Ei
但し、D=εrε0Ei
で定義されます。
電束密度Dは誘電体球の中でも外でも同じですから、誘電体球の外の電界をExとすれば、
D=εrε0Ei=ε0Ex
従って
P=ε0(Ex-Ei)
但し、Ex=εrEi
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>球の表面のうち電界の上流側と下流側では「表」が反転しますから、左半球と右半球は分極の向きが同じでも逆極性の分極電荷が生じます。


ここの意味ももう少し詳しく説明していただけないでしょうか？

電気力線が反平行のときには、表面電荷に寄与するけれど
並行のときには打ち消しあって表面電荷を誘起しないということですか？

お礼日時：2012/08/20 11:01

No.3 回答者： el156 回答日時： 2012/08/18 09:41

No.2の回答にタイプミスがありました。

div E = ρf/εです。
Eは電界、ρfは真電荷密度、εは誘電率です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ρfというのは3次元的な電荷密度ですよね？
私が行っているのは2次元的な表面電荷密度のことです。

http://maxwell.jp/nakajima/elemag/e-polarization …

のページには分極ベクトルの物体表面の法線ベクトルの内積になっているため
表面と水平方向の電場は表面電荷密度とは無関係だと思うのですが
合っていますか？

それと教えて下さった
div E = ρf/ε
の式と上記URLの式には誘電率が一つしか含まれていないのですが
物体の誘電率と媒質の誘電率、二つ必要になると思うのですが
これはどちらの誘電率を用いれば良いのでしょうか？

お礼日時：2012/08/18 11:11

No.2 回答者： el156 回答日時： 2012/08/18 09:34

> 物質表面の電荷密度は表面電場を誘電率で割ることで得ることができます。

出典は何処でしょうか？
Macroscopicの電磁方程式では、
　div E = ρf/E
ですから、真電荷密度は電界の発散に誘電率を掛けた物になります。

媒質の中に同量の真電荷があったとしても媒質の誘電率が高ければそれだけ電界が弱くなっています。
逆に同じ電界が観測されたとしても、媒質の誘電率が高ければそれだけ沢山の真電荷がある筈だということになります。
電界の強さから真電荷密度を求めるには少なくとも誘電率を掛けなくてはなりません。

物質が導体なら内部の電界はゼロですから電界の発散は表面外側だけを考えれば済みますが、
物質が絶縁体(=誘電体)の場合には、物質内部の電界も含めて発散を考えなくてはなりません。

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/08/17 19:50

うーん。

テンソルとか必要になりそうな気がする。