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No.1
- 回答日時:
>図のような三角形がある。
角CAB=45°、APは辺BCの垂線、CQは辺ABの垂線。△AQR≡△CQBである。>直線BRと辺ACの交点をSとする。△CQBの周りの長さがa、△CSBの周りの長さがb、
>四角形AQRSの周りの長さがcの時、△ABCの周りの長さをa.b.cを用いて求めよ。
AC=AS+CS,AB=AQ+BQ,BC=BP+CP ……(1)
△AQR≡△CQBより、AQ=CQ,AR=CB,RQ=BQ ……(2)で、
△CQBの周りの長さがaだから、AQ+AR+RQ=CQ+CB+BQ=a
(1)(2)より、AB=AQ+BQ=AQ+RQ=a-AR=a-CBだから、
AB+CB=a ……(3)
△CSBの周りの長さがbだから、CB+CS+BS=b
四角形AQRSの周りの長さがcだから、AS+SR+RQ+AQ=c
左辺同士右辺同士足すと、
CB+(AS+CS)+(AQ+RQ)+BS+SR=b+c
AS+CS=AC, (2)より、AQ+RQ=AQ+BQ=AB を上の式へ代入すると、
CB+AC+AB+BS+SR=b+c
(3)より、
a+AC+BS+SR=b+c ……(4)
△AQCで、(2)より、AQ=CQで、
角CAB=45°だから、直角二等辺三角形
よって、角ACQ=45°
△BQRで、(2)より、RQ=BQで、
角RQB=90°だから、直角二等辺三角形
よって、角QBR=角QRB=45°
△ABSで、
角SAB=SBA=45°だから、直角二等辺三角形
よって、AS=BS ……(5)
△SRCで、
角SRC=角QRB=45°(対頂角が等しい)
角SCR=45°(=角ACQ)より、
角SRC=角SCRだから、直角二等辺三角形
よって、SC=SR ……(6)
(5)(6)より、
BS+SR=AS+SC=AC を(4)へ代入して、
a+AC+AC=b+c
2AC=b+c-a
よって、AC=(1/2)(b+c-a)
よって、、△ABCの周りの長さは、(3)より、
AB+CB+AC=a+(1/2)(b+c-a)
=(1/2)(a+b+c)
図の中に直角二等辺三角形が4つあるので、確認して下さい。
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