3次元空間内の直線の方程式の一般形は何でしょうか?
私の考えでは、2つの平面が交わった線として表すのでは
ないかと思いますが、どうでしょうか?つまり

aX+bY+cZ+d=0
eX+fY+gZ+h=0

いかがでしょうか?

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A 回答 (3件)

2点A,Bを通る直線の式は、


Oを原点、直線上の任意の点をPとし、
OPベクトルをp,OAベクトルをa,ABベクトルをdで表したとき
p=a+td  (tは実数)
とかけます。

たとえば2点A(-1,-2,-3),B(4,5,6)を通る直線の式は
p=(x,y,z)としたとき
(x,y,z)=(-1,-2,-3)+t(5,7,9)
となります。x,y,zはtの1次式で表されているので
すべてをt= の形に直すと
(x+1)/5=(y+2)/7=(z+3)/9
となり、こんなふうに直線ABを表現することも可能です。

もちろんpromeさんの表現の仕方も直線を表す1つの方法です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。高校で習ったのを思い出しました。

お礼日時:2001/05/21 18:58

数学ではなく、3D幾何計算ライブラリーとしてなら、



・直線の通る点(px,py,pz)
・直線の方向(単位ベクトル,vx,vy,vz)

が多いように思います。これが普通かどうかは知りません。
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確かにその方法もあります。


目的に合わせて適切なやり方を選べばよいと思うのですが、
一般的には媒介変数を使うのが便利ではないでしょうか。

x=λt+α
y=μt+β
z=νt+γ
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Q2直線ax+2y-3=0、3x+y-4=0のなす角が45度であるとき、

2直線ax+2y-3=0、3x+y-4=0のなす角が45度であるとき、aの値を求めよ。ただし、a>0とする。    本当に困ってます。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

方法は幾つかある。余弦定理を使っても良いが、orthodoxに行こう。

ax+2y-3=0 ‥‥(1)、3x+y-4=0 ‥‥(2).
直線(1)の傾きは、tanα=-a/2、直線(2)の傾きは、tanβ=-3. ‥‥(3)
(1)と(2)の交角が45°であるから(補角の135°も考えなければならないから、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)=±1 ‥‥(4)
(4)に(3)を代入すると、a=1、or、-4. 従って、a>0からa=1。

(注)
a>0という条件は、補角の135°を除外している事になる。

Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
結果
2t+3s=0 t-4s=-11となり、
t=-3、s=2となりました。
交点は(x、y)=(3.1)となりました(答)

問題2は
(1)の方向ベクトルと(2)の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。 いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数tを表せという問題をといてきて、
単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点

(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点をもつとき、rの値の範囲を求めなさい。
(2)円x^2+y^2=18と直線y=x+mが共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Q図のように、直線y=1/2x+a(a>0)が直線y=2xと交わる点をA

図のように、直線y=1/2x+a(a>0)が直線y=2xと交わる点をA、x軸、y軸と交わる点をそれぞれB、Cとするとき、点Aのy座標が12のとき、線分BOの長さを求めなさい。ただし、座標の1メモリを1cmとする。

という問題です。教えてください。

Aベストアンサー

まず、点Aの座標を考えます
点A(Ax,12)と置きます
次に点Aはy=2x上の点なのでここにy=12を代入すると
12=2x
x=6
よって、点Aは(6,12)となります
次に、y=(1/2)x+aの切片aを求めます
点A(6,12)を通るので、これを式y=(1/2)x+aに代入すると
12=3+a
a=9
よって切片9となります
後はBの座標を出すのみで、B(Bx,0)とおくとy=(1/2)x+9に代入して
0=(1/2)x+9
(1/2)x=-9
x=-18
よってB(-18,0)
あとは簡単な話で、原点からの距離なので答えは18cm


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