力のモーメントの問題が分かりません

「図に示すように点Aに力F=（-40i+20j+10k）Nを加えた。Oa軸に関するこの力のモーメントを求めよ。」という問題の解き方が分かりません。
答えが-60N・mということは分かっています。
どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/09/30 16:40

もうお分かりと思いますが、点Aに加えられた「力のモーメントのベクトル」の向きは Oa方向ではありません。

力のモーメントはOaと平行な方向と垂直な方向に分解できますが、垂直な方向はOa軸を支える力が発生する力のモーメントに打ち消されます。その結果、Oaと平行な方向を軸とする力のモーメントが残るのですが、これは点Aに加えられた「力のモーメントのベクトル」の軸Oaへの「正射影ベクトル」になります。

図を添付しますが、内積と正射影の関係を調べてみるのも良いと思います。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/09/29 02:05

oa の方向ベクトル u =(-3/5, 4/5, 0) 点Aの位置ベクトル r = (-1.5, 2, 3)となりますが

軸 Oa に関する力のモーメント(力のモーメント(ベクトル)のOa方向の成分)は、軸のa方向に対して右ネジをプラスとすると

T = u ・(r X F)=u・N

です。(・は内積、 X は外積、N: 力のモーメント)

N=r X F = (2x10 - 3x20, 3x(-40) - (-1.5)x10, (-1.5)x20 - 2x (-40)) = (-40, 105, 50)

T = (-3/5, 4/5, 0)・(-40, 105, 50)=24 - 84 = -60

この回答への補足

軸Oaに関するモーメントを求めるときに内積で求められるのはなぜですか。定理か何かでしょうか。そこも教えていただけるとありがたいです。

補足日時：2012/09/29 11:27