大学物理運動量と力積についてです写真を見てほしいのですが自分はこの鉛筆で書いたように考えました。

Question

大学物理
運動量と力積についてです
写真を見てほしいのですが自分はこの鉛筆で書いたように考えました。
解答が何故そうなるかを教えてください。
また、おすすめの参考書があれば知りたいです。

masterkoto · Accepted Answer

重要ポイントは　力積（ベクトル）は運動量変化（運動量はベクトル）に等しいということです…①
したがって　初めの玉の速度を→V、打撃（力積）を加えられたあとのボールの速度を→W　として①を数式に直せば
(→P)=m(→W)-m(→V)…①となります　(→はベクトルであるという意味。VとWを使用したのは　力積を与えられる前後の速度をはっきり区別するため）
→Wと→Vは大きさ（矢印の長さ）は等しいですが　向きが異なるので　(→W)＝(→V)ではないことに留意です
ちなみに|(→W)|＝|(→V)|=v でこれはベクトルの大きさ（矢印の長さ）についての関係をあらわしたもの

さて①右辺はベクトルの引き算となっていますが、ベクトルの引き算というものは特に初心のうちは扱いにくいものです
そこで　移行して足し算に直します
すると　m(→V)+(→P)=m(→W) ・・・①'です
これを図にする方法は中学の理科あたりですでに習っていて　左辺に現れた２つのベクトルを表す矢印をまず書き
それぞれに平行な線を付け加えて平行四辺形を作図
平行四辺形の対角線が　２つのベクトルの和を表す　
すなわち対角線が右辺のベクトルを表すという作図方法です

ただ、平行四辺形のすべてを作図するより　
画像のように、m(→V)を表す水平右向きの矢印をまず書き、次にこの矢印の先端から(→P)を表す矢印を継ぎ足す
１つめの矢印の根元と２つ目の矢印の先端を結ぶ矢印を描けば　これがｍ(→W)になるという作図法を採用しても
平行四辺形利用での作図のときと同じ向きのベクトルが得られますから
そのほうが省エネですっきりして見えます
ということで、画像のような３本の矢印だけで①'を図に示すことが普通です

水平右向きの矢印(ボールの初めの運動量を表す・・・はじめの速度の向きにも関係する）
と
右斜め上にあがる矢印(運動方向をかえられた後のボールの運動量を表す・・・力積を与えられたあとの速度の向きにも関係する）
この２つのなす角度は題意よりθです
今回、問われているのは力積ですので　その大きさだけでなく向き（角度）も答えなければいけません
そこで、角度αを画像のように設定すると　画像は２等辺三角形なので　底角２つがαとなり内角の和から　α+α+θ=π　⇔α=(π-θ)/2と分かります
これでPの向きについては解決というわけです
あとはPの大きさです
これも図を見ながら考えます
ベクトル図では、矢印の長さがPの大きさを表していますから、余弦定理とかでPの長さを求めればよいです
画像では２等辺三角形の底辺から垂直２等分線を引くという方法であらたに直角三角形をつくって
Pの矢印の長さの半分をまず調べようとしているようです
破線によってできた直角三角形の三角比を考えて 破線を底辺とみれば
sin(θ/2)=高さ/斜辺=高さ÷斜辺=(p/2)÷mv
⇔p=2mvsin(θ/2) 
このように図から　Pの大きさ（長さ）と角度が求められるのです

ナッキーナッキー · Answer

（力積）＝（運動量の変化）　だからです。
式で書くと
F・t=mv －mv0　ただし、F,v,v0 はベクトルです。t は力Fが働いた時間です。（忘れていたら、調べて見て下さいね）
ですから、力積はベクトルであり、運動量のベクトルの引き算になります。
問題では「速さを変えないで」って書いていますが、
ようするに、”運動量の大きさは変えないで”、という意味になります。
つまり、変化後の運動量の大きさは最初の運動量の大きさと同じです。
ですから、変化後と変化前の運動量のベクトルを表す矢印の長さは同じになります。
だから、解答の様な図になるんですね。
質問者さんの図だと、変化後の運動量の大きさが増えた図になってしまいます。・・・だから間違っているんですね。

参考書ですが、使用しているテキスには、基礎の説明などはないのでしょうか？
大学での力学の本は、どれもキチンと数式など使って理論を説明するようになっていますから、
どの本も質問者さんの期待する様なものでは無いと思います。
で、質問者さんの解答の仕方を見ると、基礎が分かっていないというより、
基礎の適用の仕方が上手くいってないって感じがするんです。
多分、問題文を慎重に読んで、”どんな状況で”、”何を問われているか”を把握できれば、
自力で解答にたどり着けたのではないかと思います。
振り返って見て、”結構、自分は問題をじっくり読んでいないな”って思うのでしたら、
その部分から修正してみて下さい。
実は、物理の問題が解けない場合って、問題をしっかり読めてない事が原因だってのは多いんです。
これを直さない限り、どんな参考書に頼っても、あまり効果は無いと思います。
物理の問題は、すぐにパッパッパァ～と解けるようになるわけではありません。
ですから、じっくり取り組んで下さい。

yhr2 · Answer

高校で「物理」は履修しましたか？

高校物理で、「力積は、運動量の変化に等しい」と習いましたよね？
運動方程式
　F = ma = m*Δv/Δt = Δ(mv)/Δt
ですから
　Δ(mv) = F*Δt
ということです。右辺が「力積」です。

つまり、打った後の速度を →V （ベクトルです）とすれば、「力積：→p」（ベクトルです）は
　→p = m(→V) - m(→v)
となります。
つまり
　m(→V) = m(→v) + →p

これが、右のベクトル図ですね。

ここで、与えられた条件より
　|→V| = |→v|
ですから、この「三角形」は
　|m(→V)| = |m(→v)|
の二等辺三角形です。（ p が底辺、mV と mv が等辺）

ここで、求めたい「飛んできたボールの方向（つまり m(→v) の方向）に対する、力積の方向（つまり →p の方向）」とは、図の「角 α」です。

この「角 α」は、二等辺三角形の底辺角ですから
　α = (1/2)(180° - 頂角）= 90° - θ/2　　　　①
です。
これ、印刷されたものは間違っていますね。
印刷されたものだと、α < 0 になってしまいますね。

そして、力積の大きさ |→p| は、頂角 θ を 1/2 にして「二等辺三角形」を2等分した「直角三角形」の直交する短辺の2倍ですから
　|→p| ＝ 2|m(→v)|sin(θ/2)
です。

質問者さんが手書きで書いた「真上を向いた矢印」って何ですか？　「→p」はちゃんと「二等辺三角形の底辺」としてもともと書かれていますよ？
|m(→v)|sin(θ/2) = |m(→v)|cos(α) 
ということが分かりますか？

大学物理 運動量と力積についてです 写真を見てほしいのですが自分はこの鉛筆で書いたように考えました。

重要ポイントは 力積（ベクトル）は運動量変化（運動量はベクトル）に等しいということです…①

（力積）＝（運動量の変化） だからです。

高校で「物理」は履修しましたか？

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