No.1
- 回答日時:
「(√a + √b)^4 が p + q(√a + √b) + r(√a + √b)^2 + s(√a + √b)^3 という形で表現できる」ことに気づけば簡単なのでは?
つまり, (Q係数) 4次方程式の解 (の 1つ) だからです.
この回答への補足
回答ありがとうございます.
考え方として,この場合,(√a + √b)^4 が,3乗までの式で作れることを証明すればいいということですか?
式を展開し,pqrsの適当な値を求めるのは,できると思いますが,
それだと,問題の度に,適当な次数を予想し,算出しなければならず,
例えば,Q(√a + √b + √c)だと,次数をどうすればいいのか,全く思いつきません.
(Q(√a , √b , √c)の場合は,理解できるのですが,)
Tacosan様のように,気づくには,なんらかの法則を理解している必要があるのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「正確にわかるか」と言われたら, それは無理. ただし, ある程度なら想像できる.
例えば, もともとの Q(√a + √b) を考えると, 拡大するために使った √a + √b は代数的数です (√a, √b はどちらも代数的数). したがって √a + √b を解の 1つとする代数方程式が存在し, その次数が拡大次数になります (のはず: http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/ にはそんな感じで書いてある).
で「√a + √b を解の 1つとする代数方程式」の次数を考えるんだけど, 平方根があることから「符号を逆にした片割れ」の存在が想像できます. つまり, √a に対して -√a があるはずです. ということで個々の平方根に対して「符号を逆にした片割れ」を考えると √a + √b, -√a + √b, √a - √b, -√a - √b の 4通りが得られるので, 結局「√a + √b を解の 1つとする『4次』代数方程式」が見つかります. 本当は最小性も言わなきゃならないんだけど, それはパス.
というのがわりときちんとした方針. 大雑把には
「平方根を消すためには 2乗しなきゃならない」→「2個の平方根があったら 2乗を 2回しないとだめ」→「4乗の項が出てくる」→「4次方程式」
という流れです. 当然ですが, 3乗根があったら (3乗しないと消えてくれないので) 3次式が出てきます.
それでもって Q(√a + √b + √c) を考えると, 一般には 8次の拡大体になるはずです. もちろん, もっと次数が低いこともあります (c = ab だと 4次に落ちる).
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