変数分離型の微分方程式

次の微分方程式を、変数分離型として解け。
dy/dx = x*exp(-(x+y)) -1
ただし、初期条件x=y=0 とする。

うまく変数分離型にもっていくためのやり方がわかりません。
どなたか解説よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/17 18:35

変形すると，

1+dy/dx=xe^{-(x+y)}

1=dx/dxより

dx/dx+dy/dx=xe^{-(x+y)}

d(x+y)/dx=xe^{-(x+y)}

そこでANo.1さんのようにu=x+yとおくと，

du/dx=xe^{-u}

e^udu=xdx

これで変数分離型になりました．あとは両辺積分して

∫e^udu=∫xdx

e^u=x^2/2+C

x=0のときy=0,u=x+y=0なので

e^0=C,C=1

∴e^u=x^2/2+1,e^{x+y}=x^2/2+1,e^y=(x^2/2+1)e^{-x}

すなわち

y=log(x^2/2+1)-x

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/17 18:02

u = y+x

としたらどうだろ.