No.1ベストアンサー
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>C1:y=-3x^2+3
>C2:y=x^2-2ax-2a^2+3 ( 0<a<1 )
>(1) C1とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ
-1≦x≦1の範囲で積分すると、面積=4 このとき、0≦y≦3
>(2)aが0<a<1の範囲で動くときC2の頂点の軌跡を求めよ
y=x^2-2ax-2a^2+3
=(x^2-2ax+a^2)-a^2ーa^2+3
=(x-a)^2-3a^2+3
頂点x=aのとき、y=-3a^2+3 aを消去すると、
頂点の軌跡は、
y=-3x^2+3(0<x<1)
>(3) C1とx軸が囲む面積がC2によって二等分される時のaの値を求めよ
C1とC2の交点を求めると、
ー3x^2+3=x^2-2ax-2a^2+3より、
4x^2-2ax-2a^2=0
2x^2-ax-a^2=0
(2x+a)(x-a)=0 より、x=-a/2,a
x=aのとき、y=-3a^2+3 だから、
0<a<1のとき、0<-3a^2+3<3 だから、
交点(a,-3a^2+3)は、-1≦x≦1,0≦y≦3の範囲にある。
x=-a/2のとき、y=-3a^2/4+3 だから、
0<a<1のとき、-1/2<-a/2<0, 9/4<-3a^2/4+3<3 だから、
交点(-a/2,-3a^2/4+3)は、-1≦x≦1,0≦y≦3の範囲にある。
-1≦x≦1,0≦y≦3の範囲で、C1とC2は2つの交点で交わり、
C2のグラフは、頂点のy座標が、0<-3a^2+3<3 だから、
-a/2≦x≦aで、x軸より上,C1より下にあるから、
面積={-a/2→a}∫(C1-C2)dx=4/2=2 とおける。
{-a/2→a}∫(C1-C2)dx
={-a/2→a}∫{-3x^2+3-(x^2-2ax-2a^2+3)}dx
={-a/2→a}∫(-4x^2+ax+2a^2)dx
=[(-4/3)x^3+ax^2+2a^2x]{-a/2→a}
=(9/4)a^3
(9/4)a^3=2より、a^3=8/9(0<a^3<1)
よって、a=2/9^(1/3)=2/3^(2/3)
でどうでしょうか? 確認してみてください。
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