No.2ベストアンサー
- 回答日時:
3階ではありませんね.
2つのベクトルA=(a_i),B=(b_i)の外積
C=A×B=(c_i)
は鏡像変換(座標の符号反転)に関して不変なので,正確にはベクトルではありません.このようなベクトルを軸性ベクトルといいます.これに対し普通のベクトルは極性ベクトルといいます.
外積は1階テンソルでもなければ何階なのか.それは2階です.しかも,2階反対称テンソルです.
2つの極性ベクトルAとBの外積C=(c_i)には,対応した反対称テンソルc_{ij}があって
c_{ij}=a_ib_j-a_jb_i
となります.c_iとの関係は
c_i=Σ_jΣ_k(1/2)e_{ijk}c_{jk}
となります.ここに
e_{ijk}=1(ijk→123が偶置換),-1(ijk→123が奇置換)
は3次元完全反対称3階擬テンソルです.
※軸性ベクトルの例は,回転座標系の角速度ベクトルωや磁場ベクトルBがあります.これらが軸性ベクトルであるのは
v=ω×rやF=ev×B(e:電荷)
において,位置ベクトルr,速度ベクトルv,力のベクトルFが普通のベクトル(極性ベクトル)であることからわかります.ωやBにはこれらの3つの成分からつくられる2階反対称テンソルが対応します.
この回答への補足
よくわからないです…ごめんなさい
u,v,wをベクトルとして
外積に対応するテンソルをF(u,v)=u×vとします.
これとwとの縮約をとると(Fijk)(uj)(vk)(wi)=(u×v)・w=スカラーですし,Fはこのことからもまた添字の数からも3階のテンソルだと思うのです.
No.3
- 回答日時:
ハァ? ですな。
言葉あそびをやってるという感じがする。
>3階という結果は出ません.
そりゃ出ないでしょうw
もうちょっと線形代数を勉強しましょう。
ベクトルの外積は本来、反対称2階テンソルだが、空間が3次元ゆえ
ホッジ・スター * により 3 - 2 = 1 階の反対称テンソルつまりベクトルに
対応している。
>2つのベクトル(1階テンソル)に対して1つのベクトル(1階テンソル)を線形性をもって返すので3階のテンソルだと思うのですが…
それがホッジ・スター * ですよ。
体積要素で検索してごらん。
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