三角形と比

画像でDE//BCとするときAD:DB=AE:ECとなることを次の手順で証明しなさい。

(1)点Dを通り辺ACに平行な直線をひき辺BCとの交点をFとする。

(2)△ADE∽△DBFを証明しAD:DB=AE:DFを示す。

(3)四角形DFCEがどんな四角形であるかを考えDFと長さが等しい線分をみつける。

(4)(2).(3)からAD:DB=AE:ECを示す。

教えて下さい!!

No.1 ベストアンサー 回答者： asuncion 回答日時： 2012/11/26 20:34

何かもう、そろそろいいかげんに自力でできてもいいような気がするが…。

△ADEと△DBFにおいて、
DE∥BCより、同位角は等しいので、∠ADE=∠DBF …… (1)
AE∥DFより、同位角は等しいので、∠DAE=∠BDF …… (2)
(1)(2)より、△ADE∽△DBF（二角相等）
対応する辺の比は等しいので、AD:DB=AE:DF …… (3)
□DFCEは、DE∥FCかつDF∥ECであるから、平行四辺形である。
よって、DF=EC …… (4)
(3)(4)より、AD:DB=AE:EC

この回答へのお礼

ありがとうございます(・v・pq)

お礼日時：2012/11/27 07:17

No.2 回答者： fushigichan 回答日時： 2012/11/26 20:34

こんにちは。

手順のヒントがありますから、その順番にやってみます。

△ＡＤＥ∽△ＤＢＦを示します。

まず、ＤＥ//ＢＣより２つの直線が辺ＡＢとなす角は一緒なので
∠ＡＤＥ＝∠ＤＢＣ

ＤＦ//ＡＣより
∠ＤＡＥ＝∠ＢＤＦ

よって３つの角度がそれぞれ等しいことから、
△ＡＤＥ∽△ＤＢＦ

このことから、ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＤＦ・・・・・・(1)

次に、四角形ＤＦＣＥについて考えてみます。
仮定より、ＤＦ//ＥＣ
また最初の条件よりＤＥ//ＦＣ
なので、２組の平行な直線に囲まれた四角形なので、平行四辺形になり
その性質から

ＤＦ＝ＥＣ・・・・・・(2)


(1)、(2)より、ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ

よって題意は証明された。

この回答へのお礼

ありがとうございます(・v・pq)

お礼日時：2012/11/27 07:18

No.3 回答者： zovoner 回答日時： 2012/11/26 20:39

ども、現役高校生です（笑）

そういえばこんな問題やったことあるなぁなんて思いながら
まぁ、参考までにどうぞ。

（１)
そのまま図に描いてください
（２）
△ADEと△DBFにおいて、
仮定よりBC//DEなのでDE//BF。
よって、角ADEと角DBFは対頂角なので等しい。…(1)
そして、角EDFと角DFBは錯角なので、等しい。…(2)

また（１）より、DF//ACなので、DF//AE。
よって角EDFと角DEAは錯角なので等しい…(3)

ここで、(2)と(3)より、
角DFB＝角EDF＝角DEAなので、角DFB＝角DEA…(4)

よって(1)と(4)より、二つの対応する角が等しいので、
△ADE∽△DBF

これらの三角形の対応する辺の比は等しいから、
AD:DB=AE:DF…(5)

（３）
また、仮定と（１）より、
DE//FC、DF//ECなので
向かい合う二辺が平行なので
四角形DFCEは平行四辺形となるから、
DF＝EC…(6)

よって、(5)(6)より、
AD：DB＝AE：ECとなる。

よって、題意は示された。



みたいな感じですかね？ｗ
ちなみに実際相似を証明するときには
対応する角の順番統一させないといけませんけど、めんどくさかったから
やってません。あくまで参考までに…。

P.S.
仮定よりってのは問題文よりっていう意味です。

この回答へのお礼

ありがとうございます(・v・pq)

お礼日時：2012/11/27 07:18