ベクトルの入った等号a↑＝ｂ↑で、a↑+ｃ↑＝ｂ↑

＋ｃ↑やa↑ーｃ↑＝ｂ↑ーｃ↑やa↑・ｃ↑＝ｂ↑・ｃ↑やa↑/ｃ↑＝ｂ↑/ｃ↑はできるんですか？
上の等号は、a↑を|a↑|、ｂ↑を|ｂ↑|、ｃ↑をｌｃ↑ｌとおきかえてもいえますか？

画像の式変形の途中で両辺のｌｃ↑ｌは割られているんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/28 21:19

↑は省略します．

・a/c=b/cだけはできません．ベクトルに割り算は定義しません．定義するなら明確に意味を定めないといけないです．掲載の計算では必要ありません．

・a→|a|などの置き換えができる場合とできない場合があります．a±c=b±c,a・c=b・cで使われているaはベクトルですが|a|は実数なので，ベクトルが実数に置き換わるのは一般にはできません．その逆もそうです．例えば

a=bを|a|=|b|はOK

a+c=b+cを|a|+c=|b|+cはNG．意味のない式になってしまします．

ベクトルと実数の計算については教科書をよく見て下さい．

・画像の式変形は次のようになります．

（☆）a・c/(|a||c|)=b・c/(|b||c|)

これに|c|をかけると

a・c/|a|=b・c/|b|

|b|a・c=|a|b・c

となって|c|は消えます．これにc=a+tbを代入すると

|b|a・(a+tb)=|a|b・(a+tb)

|b|(|a|^2+ta・b)=|a|(a・b+t|b|^2)

t(a・b-|a||b|)|b|=(a・b-|a||b|)|a|

ここでa・b=|a||b|⇔cosθ=a・b/(|a||b|)=1⇔θ=0⇒a//b

ですから，aとｂが平行でないならa・b≠|a||b|です．よって，

t|b|=|a|,t=|a|/|b|

となります．これをc=a+tbに代入すると

c=a+|a|b/|b|=|a|(a/|a|+b/|b|)

a/|a|+b/|b|はa方向の単位ベクトルとb方向の単位ベクトルの和ですから，a=OA,b=OBとすると，cは∠AOBの二等分線を向くベクトルになります．それはcとaのなす角とcとbのなす角が等しいことを意味します．それが☆の意味するところです．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

確かにベクトルが一個だけ分母にある式（1/a↑とか）は見たことないですね。こういう式は少なくとも高校数学でのベクトルでは全くでてこないものだったんですね。

＞a=bを|a|=|b|はOK
a+c=b+cを|a|+c=|b|+cはNG．
ベクトルと実数を足したり引いたりする式はダメなんですね。実数とベクトルが掛け合わされた項（ｓa↑とか）はベクトルとみるんですよね。

少なくとも高校数学では、a↑=b↑の両辺にc↑を割る（1/c↑を掛ける）操作をベクトルでは行ってはダメなんですね。

お礼日時：2012/12/28 21:54

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/28 21:03

ベクトルの足し算、引き算、内積は定義されているから、

a↑=b↑ であれば、a↑+c↑=b↑+c↑, a↑-c↑=b↑-c↑, a↑・c↑=b↑・c↑ は言える。
a↑/c↑=b↑/c↑ って、いったい何の式じゃいな？

＞ a↑ を |a↑|、b↑を |b↑|、c↑を |c↑| とおきかえてもいえますか？
については、それが
|a↑|=|b↑| のとき |a↑|+|c↑|=|b↑|+|c↑|, |a↑|-|c↑|=|b↑|-|c↑|,
|a↑|・|c↑|=|b↑|・|c↑|, |a↑|/|c↑|=|b↑|/|c↑| が成り立つか？
って意味なら、言える。
|a↑|, |b↑|, |c↑| は、単なるスカラーだから。

この回答へのお礼

a↑=b↑の両辺にc↑を割る（1/c↑を掛ける）操作をベクトルでは行ってはダメなんですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/28 21:40