複素積分

ちょっとグリーン関数を勉強していて、複素積分を忘れてしまった部分があるので教えてください。

∫_[-∞～∞] {exp(ikr)}/k dk=iπ
の計算過程です。

お願いします。

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2013/01/15 01:03

alice_44 さんの言われるように，

k=0 の近傍で広義積分が収束しません．

複素積分という観点からするなら，
積分路は実軸に沿って -∞ から +∞ ですが，
極になっている原点(k=0)をどちらに避けるかを
指定しないといけません．
この結果は原点を複素平面の下方に回避しています．
回避の仕方を半径 δ の円(δ → 0)に沿うものとしますと，
k = δ e^(iθ) で，θがπから 0 まで動くことになります．
k についての積分をθで書き換えればよいでしょう．

同じことですが，分母の k を k - iδ と思って置く手もあります．

なお，上方に回避すると，積分結果は -iπ になります．

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/15 00:23

k=0 の近傍で、広義積分が収束しない。