三角形の図形の角度を求める問題です。

△ABCにおいて、辺AB上に点D、辺AC上に点Eをおき、
∠A=s、∠ABE=t、∠CBE=u、∠BCD=x、∠ACD=yとする。
∠EDC=α、∠DEB=βとするとき、
α,βを、s,t,u,x,yを用いて表すことができるか?

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife/2898/sank …
↑絵はこちらにあります。

α+β=u+x は簡単に出るのですが、その先がどうにもなりません。
s,t,u,x,yがある特殊な角度(関係)であれば、その角度から求めることはできるのですが、一般にはどうなのでしょう?

暇なときで構いませんので、ご存知の方がいらしたらよろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

一般に△ABCにおいて、各頂点の対辺の長さをa,b,cとおくと、


Cから辺ABにおろした垂線の長さは
    bsinα=asinβ    ∴b=asinβ/sinα …(1)
また底辺に関して
    bcosα+acosβ=c …(2)
(1)を(2)に代入して整理すると
    a=csinα/sin(α+β) …(3)

この(3)を駆使して行きます。

まずBC=1としてよいです。
△BCDにおいて(3)より
          sinx
    BD=---------- …(4)
        sin(x+t+u)

         sin(t+u)
    CD=---------- …(5)
        sin(x+t+u)

同様に△CDEにおいて(3)より
         sin(x+y)
    BE=---------- …(6)
        sin(x+y+u)

           sinu
    CD=---------- …(7)
        sin(x+y+u)

これを△CDEに当てはめると
        CDsinα
    CE=-------- …(8)
        sin(α+y)
よって
       sinu          sin(t+u)    sinα
    ---------- = ---------- -------- 
     sin(x+y+u)     sin(x+t+u)  sin(α+y)

    sinusin(x+t+u)(sinysinα+cosycosα)=sin(x+y+u)sin(t+u)sinα

    sinusin(x+t+u)cosycosα={sinusin(x+t+u)siny-sin(x+y+u)sin(t+u)}sinα

        sinα           sinusin(x+t+u)cosy
    tanα=---- = -------------------------------
        cosα     sinusin(x+t+u)siny-sin(x+y+u)sin(t+u)

ゆえに
                           sinusin(x+t+u)cosy
    α=Arctan(tanα) = Arctan -------------------------------
                     sinusin(x+t+u)siny-sin(x+y+u)sin(t+u)
βについては省略します。

要は中学生レベルの数学では扱えない問題と言う事ですね。
特殊な角度であれば求められると言うのはそこに原因があるんだと思います。
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この回答へのお礼

早速のご回答、ありがとうございました。

逆三角関数が出てくるなんて、全然想像していませんでした。
懇切丁寧な途中式も付けてくださって、ありがとうございます。
よく分かりました。

お礼日時:2001/05/22 05:16

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Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

Qy,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

おはようございます。

[Q] Prove the following statement:
Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy.

という問題に悪戦苦闘しています。
linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。

この問題はつまり、
"y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば
線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。
つまり、
V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像
である事を示せ。
という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。
その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
>>V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V\Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。

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自然数の範囲で、やってみよう。

xのy乗 = yのx乗 = z が成立しているとする。
z の素因数分解を考えれば、
x と y の素因数は共通であることが解る。
素因数 p の x における指数を a、
y における指数を b と置くと、
p の z における指数から
ay = bx である。
x > y > 0 より、a > b と解る。
これが各 p で成り立つから、
x は y で割り切れる。

x = ky と置く。
x > y より、k > 1 である。
ここで、最初の式に戻ると、
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> (yのn乗) - y ≧ 0 だから
n > 1 で D(n) > 0 となる。
従って、D(k) = 0 となる解があるのは、
y ≦ 2 に限られる。

y = 2 の場合を解く際も、
上記の考えをたどって、k = 2 に絞られるから、
(x,y) = (4;2) のみが得られる。

y = 1 を代入すると、x = 1 となって、
x > y より、これは解でない。

自然数の範囲で、やってみよう。

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z の素因数分解を考えれば、
x と y の素因数は共通であることが解る。
素因数 p の x における指数を a、
y における指数を b と置くと、
p の z における指数から
ay = bx である。
x > y > 0 より、a > b と解る。
これが各 p で成り立つから、
x は y で割り切れる。

x = ky と置く。
x > y より、k > 1 である。
ここで、最初の式に戻ると、
zのy乗根 = kx = yのk乗 が成り立つ。
D(n) = (yのn乗) - ny ...続きを読む

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

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 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。


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