統計力学（量子統計） 演習問題

田崎さんの統計力学IIの演習10.4の問題でわからないところがあります．

バンド幅ｗの２つのバンドがエネルギーギャップｇで隔てられているような１粒子状態密度を考えます．
１粒子状態ν（ε）=0 or c です．
フェルミ理想気体の逆温度β，密度ρ=cwの平衡状態を考える．

フェルミエネルギーを求めよ．

というような問題（いろいろ省いてしまいました．）でフェルミエネルギーεfは
∫_{0}^{εf}ν(ε)dε=cw
を満たすことから求めればよい，と思ったのですが，この方法だとεｆはw<εf<c+gのどこでもよいということになると思うのですがあっていますか？
解答では対称性から
εf=c+g/2
になると書いています．

宜しくお願いします．

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2013/02/18 00:48

少なくとも私には「ρが邪魔」と言われただけで、何に困っている(積分が計算できないetc.)のか分かりません。

再質問するかは私が決める事ではないでしょう。

この回答へのお礼

おっしゃる通りでした．
再度計算し，質問することにします．

お礼日時：2013/02/18 15:01

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2013/02/16 19:25

対称性とか考えなくても、解析的に積分が計算できるはずなのですが。

対称性云々というのは、電子と正孔の対称性というようなイメージですね。
今の条件だと、"価電子帯"の電子(正孔)の数と"伝導帯"の正孔(電子)の数が等しくないといけなくて、そのためにはギャップのちょうど真ん中にフェルミエネルギーがないといけないのですね。、

この回答へのお礼

別解の解説ありがとうございます．

ρが邪魔なんですよね．計算を写真でとってまた質問するといいですかね？

お礼日時：2013/02/16 22:54

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2013/02/13 02:31

今の問題の場合には、絶対零度でのフェルミ分布に置き換えてしまうとε_fについて解けなくなってしまいますので、積分を先に実行してから(さらにε_fについて解いてから)T→+0の極限を取らないといけません。

この回答へのお礼

いま計算をやってみましたが、ρが邪魔でうまくいきません。
対称性より変数変換など工夫しましたがぼくにはできませんでした。

解答には対称性よりの一言で片付いてるのですが、どう工夫すればいいのでしょうか。お手上げです。

お礼日時：2013/02/13 13:15

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2013/02/11 19:41

f(ε,β)をフェルミ分布関数として、

∫[ε:-∞→+∞]ν(ε)f(ε,β)dε=ρ
を満たすようにε_fを求めて下さい。
※絶対零度でのフェルミエネルギーを求める場合には、積分を計算してからβ→+∞の極限をとります。

この回答への補足

質問に書き間違えがありました．
w<εf<c+g　　→　w<εf<w+g
εf=c+g/2　　→　εf=w+g/2
でした．

初めから絶対零度として計算したほうが楽だと思うのですが，それはいけないのですか？

補足日時：2013/02/12 11:39

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．

お礼日時：2013/02/12 11:39