数列 本質的に同じとは。

「初項１, 公比rの等比数列において,　初項から第n項までの積を求めよ.」 …(１)

という問題は、本質的には

「初項0,　公差dの等差数列の初項から第n項までの和を求めよ.」 …(2)

と同じものである。


とあります。(1)はrの(1/2){n(n-1)}乗、(2)ではdの(1/2){n(n-1)}倍ということですが、なぜこの２つが本質的に同じと解釈できるのですか？
たとえば、n=4のとき、(1),(2)はそれぞれr^6, 6・dとなりますが、これらは本質的に同じなのですか？


また、一般に数学に於いて、「本質的に同じ」とはどういうことなのでしょうか。
こちらのリンク先http://www.sci.tohoku.ac.jp/mediaoffice/second/i …を見て、√2と√18が本質的に同じ、ということはなんとなくわかったのですが、それでも上の(1),(2)が本質的に同じだということを心の底から納得することができません。どういった視点から見ると本質的に同じなのでしょうか。

よろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/02 13:37

　補足、承りました。

#3です。

>「答えを求める過程で、どちらも "(1/2){n(n-1)}" と表せる、同じ等差数列の和を求めることになるから本質的には同じである。」

　そのように解釈してあげておくくらいで、そしてあまり気にしないのが無難なのでしょうね。

　著者本人に会っていて、「本質的に同じ」言われたら、どういう意味なのか問い返すこともできますが、教科書などの記載ですと一方通行です。問い合わせる手間をかけるほどかどうかは、ちょっと疑問な気もします（著者が出版社経由でメールなどで答えたとしても、一方的に言い募りそうな気もします）。

　それが「本質的」なのかどうか、どこがどう「本質的」なのかは、数学を学んでいくのに大事だとも思えません。

P.S.

　個人的には「本質的には」なんて言い方は混乱を招くとは思いますし、「こことここは類似性（アナロジー）がある」くらいの書き方に留めたほうがいいような気がします。

　いくどか数学的に問題のある記述に出くわしたことがあります。たとえば「1×1行列はスカラー」旨の記載が、ある数学本の巻頭言にありました。さすがに出版社に問い合わせたら、著者からの返信が転送されてきて、原稿が編集されたときのミスだったとのことでした。

この回答へのお礼

丁寧に、また、素早く補足にまでご回答下さったこと感謝致します。

この問題をどう捉えたら良いのか、とても参考になりました。

>いくどか数学的に問題のある記述に出くわしたことがあります。
なるほど、そんなこともやはりあるのですね。私の力量はまだそこまでないので、問題を発見できることがうらやましい限りです。機会がありましたら私も勇気を出して著者なり出版社に質問をしてみようと思います。

様々なご指南ありがとうございました。重ねて御礼申し上げます。

お礼日時：2013/04/02 23:52

No.3 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/02 08:59

　その疑問に思われておられる記述を書いた人に好意的に取るならば、

>(1)はrの(1/2){n(n-1)}乗、(2)ではdの(1/2){n(n-1)}倍ということですが、なぜこの２つが本質的に同じと解釈できるのですか？

は、「rの(1/2){n(n-1)}」と「dの(1/2){n(n-1)}」の部分が同じ形式の式だということが、その著者の観点では「本質的に同じ」なのでしょうね。

>一般に数学に於いて、「本質的に同じ」とはどういうことなのでしょうか。

　数学では、「本質的」という言葉の定義はありません。これは、普通の言葉として国語の範疇でしょうか。これも結論は無いと思いますが、よく「『本質的に』という言い方は、『私が言いたいのは』という意味であることがほとんどだ」などと言われたりします。

　√2と√18＝3√2は、確かに√2の自然数倍という共通点はありますが、どんな観点からも（つまり「一般的に」）『本質的に同じ』とは言い難いと思われます。

　お示しの範囲では、『本質的には同じ』は『筆者がここで言いたいのは同じ』と読み替えたほうが無難なような気がします。

この回答への補足

詳しい説明、またリンク先のことにも触れて下さりありがとうございます。

私も昨晩からいろいろ考えたのですが、

「答えを求める過程で、どちらも "(1/2){n(n-1)}" と表せる、同じ等差数列の和を求めることになるから本質的には同じである。」

と著者は言いたいのかな、と思ったのですが、そう解釈しても差し支えないということでしょうか。

補足日時：2013/04/02 13:02

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/02 00:54

「本質的に同じ」に定義なんてありませんよ。

「俺にゃ、同じとしか見えねー」程度の意味です。

今回の例については、等比数列の積を、
指数法則を使って、公比を底とした
一個の指数関数にまとめてみてください。
指数部分に、等差数列の和が現れますね？

この回答へのお礼

いつもalice_44様の回答をもとに思索をめぐらせています。
その結果、lazydog1様の補足欄に書かせていただいた答えに辿り着いたのですが、いかがでしょうか。
今回も、思索のきっかけとなりましたこと、御礼申し上げます。

お礼日時：2013/04/02 23:35

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/04/02 00:22

たいすう

この回答へのお礼

素早い回答をありがとうございました。

お礼日時：2013/04/02 23:24