摩擦の向き、加速度の向き、どちらがどちらを決める？

こんにちは、不可解なタイトルですみません。

添付の図に示す問題に出会いまして悩んでおります。
始め静止状態にあるものを解放して、三角ブロックBの加速度を求める、というものです。
ブロックAは下降するので、図に示した摩擦力fの向きは正しく予測できます。
ところが、Bが床から受ける摩擦力f’が、頭を悩ませております。
というのも、まずBが左へ動くのか、右へ動くのかがわかりません。垂直効力Nの大きさや摩擦力fの大きさによって、左にも右にも行く可能性があります。つまり計算してみないとわかりません。ところが運動方程式を立てるときは、Bの加速度の向きを予測する必要があります。そしてその逆の向きを摩擦力ｆ’の向きとしています。どのように摩擦力f’を予想したらよいのでしょうか。

ところでf’ = uN’
でN’が負の値になることはないので、必然的にｆ’が正の値になってしまい、ｆ’の向きは初めに予測する向きが正しくないと、すべての答えが間違ってしまいます・・・　

どうすればよいのかわからず、どうか解法をお教え頂けますととても勉強になります。

宜しくお願い致します。

No.1 回答者： phyonco 回答日時： 2013/04/22 02:37

物体に力が働くと、その向きに速度が生じ、速度と逆向きに摩擦力が生じます。

この順番に考えることが重要です。そこでまず摩擦のことは忘れて
ブロックBに働く力を考えると、重力とブロックAから受ける力があります。
この中で水平方向に働く力はブロックAから受ける左方向の力であることが
分かります。つまり、ブロックBには左方向へのちからが働き、左方向へ
の速度が生じます。水平方向の摩擦力はその速度と逆向きなので、
摩擦力の方向は右方向だということになります。

この回答へのお礼

回答下さりありがとうございます。ただ、この問題の場合は、ブロックAにかかる水平方向の力のは、３つあります：(1)ブロックAからの垂直効力Nの水平方向成分 (2)ブロックAからの摩擦fの水平方向成分、そして(3)床からの摩擦f’。これらは運動方程式を立てて計算してみないと求まらず、運動方程式を立てるのには、床からの摩擦ｆ’を定めないといけません。これらの点が問題点でして、回答頂けますと幸いです。どうぞよろしくお願いします。

お礼日時：2013/04/22 08:24

No.2 回答者： heboiboro 回答日時： 2013/04/22 11:09

まず摩擦が全くないとして物体が動く方向を調べ、その逆方向に摩擦力が働くと考えればいいと思います。

ちなみに、動摩擦力の向きを決めるのは加速度ではなくて速度です。

この回答へのお礼

heboiboro様、回答下さりありがとう御座います。
摩擦の方向の定め方について、理解できました。

他の回答者様にも申し上げましたが、計算上、ブロックBが右向きに加速度をもつという結果になりました。
お手数ですが、以下ご覧いただき、再度ご回答下さいますととても助かります。
どうぞよろしくお願いします。

以下が実際に出された問題の数値です。模範解答・解法ががなく、自分で解いてみたのですが、計算上、三角ブロックの加速度は、1.79 m/s^2の大きさで、右向きとなりました　（始め、この加速度を左向きと予想して、運動方程式を解いたら、負の値 -1.79が得られました）。

どうでしょうか。

[質問１]何かこの問題で破たんが起きているのか\
[質問2]もしくは実際に三角ブロックが右向きに加速度をもつことは本当に起こりうるのか。

再度アドバイス頂けますととても助かります。非常に悩んでおり、真剣に解法を探しており、理解したいのですが、わからずにおります。どうかよろしくお願いします。


四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

私の計算結果
N = 9.39
Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度30度）
N' = 29.16

お礼日時：2013/04/22 13:18

No.3 回答者： Quarks 回答日時： 2013/04/22 11:18

直感的に、Ａは右下方向に下降していくでしょうし、Ｂは水平方向左に移動することは明らかです。

ご質問は、直感を頼らずに、数式だけで表現してみたら…という主旨の下で、純形式的に、力の向きをどう設定すべきか？　という疑問だろうと推測します。
　
三角ブロックＢの下面が、接触している床面から受けている摩擦力が無いものとしてみます。
動摩擦力は、物体の移動を妨げようとする方向(速度に対して正反対向き)に働きますから、摩擦力が働かないならどんな方向に動くかを知ることができれば、動摩擦力の向きも正しく判定できるはずです。
　
まず、系全体を１まとまりのものと見なしてみます。
この物体系には重力と床面から(三角ブロックＢの下面が受ける)垂直抗力Ｎ'の、２つの外力が作用しています(Ａ，Ｂの間に生じる垂直抗力，動摩擦力は、全体を１つのまとまりと見なすときには、内力なので無視できます)。
これら２力は、水平方向成分を持っていませんから、系の重心は、水平方向には動いていないはずです。
　
次に、個々の物体に分けて見ます。
ブロックＡの運動を考えましょう。Ａ，Ｂが動かないのでは問題そのものが成立しないので、Ａは重力の影響を受けて、Ｂの斜面に沿って下降するのは明らかです。
それをＢから見たら、Ａは水平方向では右へ移動しているはずです。つまり、Ｂから見たら、系の重心が右へ移動していることを意味しています。
　
　系全体の重心は水平方向の移動をしないはず。
　Ｂから見たら、重心が右へ移動しているはず。
　
この２つの事象を矛盾無く説明するためには、
　Ｂの重心が系全体の重心に対して、左側に移動している
と考えるしかありません。そして、系全体の重心は水平方向には移動しないのですから、
　Ｂ自身が左に移動している
ことを認めるしかありません。
　
動摩擦力は、物体が移動する速度と正反対向きに働くものです。上に見たように、もし床面とブロックＢとの間に摩擦力が無ければ、Ｂは左に移動するはずなのですから、実際の系では、Ｂは右向きの動摩擦力を受けているはずだ、と判断できます。

この回答へのお礼

Quarks様、いつもありがとう御座います。
とても丁寧に説明下さりとても勉強になります。

他の回答者様にも申し上げましたが、実際に計算してみて、なぜかBの加速度が右向きになるという結果が得られました。

始めが静止状態ですので、三角ブロックは右向きに移動し始め、その時の摩擦は左向きになってしまいます。

どうしてこのようなことになってしまったのかわかりません。以下が実際に出された問題の数値です。模範解答・解法ががなく、自分で解いてみたのですが、計算上、三角ブロックの加速度は、1.79 m/s^2の大きさで、右向きとなりました　（始め、この加速度を左向きと予想して、運動方程式を解いたら、負の値 -1.79が得られました）。

どうでしょうか。

[質問１]何かこの問題で破たんが起きているのか\
[質問2]もしくは実際に三角ブロックが右向きに加速度をもつことは本当に起こりうるのか。

再度アドバイス頂けますととても助かります。非常に悩んでおり、真剣に解法を探しており、理解したいのですが、わからずにおります。どうかよろしくお願いします。


四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

私の計算結果
N = 9.39
Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度30度）
N' = 29.16

お礼日時：2013/04/22 13:15

No.4 回答者： foomufoomu 回答日時： 2013/04/22 11:40

運動量保存則で考えれば、三角ブロックが左へ移動しようとするのは明らかです。

床面の摩擦がない場合、
四角ブロックの移動速度×質量＋三角ブロックの移動速度×質量＝０(最初は静止なので)
四角ブロックが右へ移動すれば、三角ブロックは左へ移動するしかありません。

この回答へのお礼

foomufoomu様、回答下さりありがとう御座います。
なるほど、勉強になります。床面の摩擦がない場合で運動量保存則を適用すると、間違いなく三角ブロックは左へ移動します。ですので、必然的にf’の向きは右向きですね。とても納得しました。

ところが、一つ問題がありまして、実際に問題を解いてみると、三角ブロックの加速度は右向きになってしまいました。
始めが静止状態ですので、三角ブロックは右向きに移動し始め、その時の摩擦は左向きになってしまいます。

どうしてこのようなことになってしまったのかわかりません。以下が実際に出された問題の数値です。模範解答・解法ががなく、自分で解いてみたのですが、計算上、三角ブロックの加速度は、1.79 m/s^2の大きさで、右向きとなりました　（始め、この加速度を左向きと予想して、運動方程式を解いたら、負の値 -1.79が得られました）。

どうでしょうか。

[質問１]何かこの問題で破たんが起きているのか\
[質問2]もしくは実際に三角ブロックが右向きに加速度をもつことは本当に起こりうるのか。

再度アドバイス頂けますととても助かります。非常に悩んでおり、真剣に解法を探しており、理解したいのですが、わからずにおります。どうかよろしくお願いします。


四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

私の計算結果
N = 9.39
Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度30度）
N' = 29.16

お礼日時：2013/04/22 13:12

No.5 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/04/22 16:58

画像の説明、？？？ですけど・・・。

水平方向の外力を受けていないんだから、水平方向の運動量は保存される→Ａは右、Ｂは左に動くでしょう。

Ｂがどちらに動こうとするか考えるために、Ｂの下には摩擦がないとしましょう。
Ａが最大静止摩擦力で滑る直前、ギリギリ止まっているときを考えます。
以下、Ａの質量をmとします。
ＢがＡから受ける力は、面に垂直（左下）に mg*cos(θ)、斜面下向き（右下）に最大静止摩擦力 f = mg*sin(θ)
この状態で合力は鉛直下向きに mg となり、動きません。（当然ですね）
Ａが滑ってしまうとき、動摩擦力 f' は f' < mg*sin(θ) ですから合力は左下になり、Ｂは左に動きます。

そもそも、Ａの質量をm、Ｂの質量をMとしたとき、
Ａの右向きの加速度をa1、Ｂの左向きの加速度をa2、a1 : a2 = M : m と最初からおくのが普通でしょう。Ｂが左に動くというのはそのくらい当然のことです。
ちなみにＡの下向きの加速度をbとすると、(a1 + a2)*tan(θ) = b が図形的拘束条件になります。

実際には水平・鉛直の固定座標より、Ｂに固定された運動座標（斜面に平行・垂直）で考えて、Ａには慣性力が作用するとして解くほうがずっと楽だと思います。

この回答へのお礼

回答下さりありがとう御座います。勉強になりました。

joey2005様もお気づきのことと思いますが、Bの加速度（Ab)を左向きと想定して計算すると、計算結果としてAbが負の値になり、計算結果上はAbが右に加速されるということであります。これがどうして起こるのか、どこにこの問題について破綻（？）が起きているのか、を理解したく思います。

以下に出題内容（具体的な数値）と私の解法・計算結果をお示しします。
是非議論頂けますと幸いです。宜しくお願い致します。

=============================================

四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

これから、計算しますと、

■N = 9.39
■N' = 29.16
■Ab: Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度マイナス30度）


となりました。

方程式（４つの未知数、４つの方程式）をお書きしますと、

■Bの水平成分
Ncos(-120) + 0.3Ncos(-30) +0.2N' = -MAb
これを整理すると
-0.24N + 0.2N' +2Ab = 0 .....(1)

■Bの鉛直成分
Nsin(-120) + 0.3Nsin(-30) + N' -Mg = 0
これを整理すると
-1.016N + N' = 19.62 .....(2)

■Aの水平成分
0.3Ncos150 + Ncos60 = -mAb + mAa/b (cos(-30))
これを整理すると、
0.24N +Ab -0.866Aa/b = 0 ...(3)

■Aの鉛直成分
0.3Nsin150 + Nsin60 -mg = mAa/b (sin-30)
これを整理すると
1.016N +0.5Aa/b = 9.81 ...(4)

計算結果は、次の通りです。
■N = +9.39
■N' = +29.16
■Ab: Bの加速度 = -1.79
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = +0.537 m/s^2

このように、Abが負の値になり、計算上はBは右に加速されることになってしまいます。
どの点が問題なのか、理解したく、どうぞご教示頂けると幸いです。

=============================================

お礼日時：2013/04/23 12:27

No.6 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/04/22 17:16

No.5 の補足です。

最後に一文忘れました。

運動量保存により加速度がM : m になる云々はＢの下に摩擦（外力）がないときの話です。
摩擦がないときそのように左に動くのだから、静止していても左に動こうとしている（それを右向きの摩擦力がふんばっている）、動くなら左、ということです。

No.7 回答者： Quarks 回答日時： 2013/04/22 19:16

計算が正しくなされていて、その結果、"Ｂが右への加速度を持つ"ということになったとすれば、考えられることは１つしかありません。

思考過程の途中で、幾つかの仮定をしていたはずですが、そのどれかの仮定が間違っていた、ということです。　
　
繰り返しますが、Ａが右下方向へ滑り降り、そしてＢも動くならば、Ｂは左へ動かざるをえません。
ここに２つの仮定があります。
　"Ａが滑り降りるだろう"ということ
そして、
　"Ｂもまた動くであろう"ということ
です。
　
初めの仮定は、どうでしょうか？
Ａにチョンとつついてやれば、動きそうですね。
その後滑走し続けたとしても何等不思議ではありません。どんどん速くなるかやがて止まってしまうかは、計算しなければわかりませんが、１番目の仮定には異常を認められません。
　
とすれば、２つ目の、"Ｂもまた動き出すだろう"という仮定、おそらく、これがマズイのでしょう。つまり
　Ｂは動かなかった
とするのが、正しい判断なのだろうと思います。床からＢが受ける摩擦力は静止摩擦力だったと考えれば、何等、異常は無いのですから。
　
Ｂの加速度が負になってしまうのは、床面とＢとの間の動摩擦力が大きすぎるからでしょう。もし、こちらの動摩擦係数がとても小さな値だったら、Ｂはまさに左向きに動き出すことになるでしょう。

この回答へのお礼

Quark様、再びご返答下さりありがとう御座います。

"Bが動くであろう”という仮定を否定する方法を考えてみたいと思います。

他の方にもお示ししましたが、私の計算結果（Bの加速度が右向きになってしまう）をお示しします。
以下、写し＆貼り付け、にて失礼します。

====================================================
四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

これから、計算しますと、

■N = 9.39
■N' = 29.16
■Ab: Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度マイナス30度）


となりました。

方程式（４つの未知数、４つの方程式）をお書きしますと、

■Bの水平成分
Ncos(-120) + 0.3Ncos(-30) +0.2N' = -MAb
これを整理すると
-0.24N + 0.2N' +2Ab = 0 .....(1)

■Bの鉛直成分
Nsin(-120) + 0.3Nsin(-30) + N' -Mg = 0
これを整理すると
-1.016N + N' = 19.62 .....(2)

■Aの水平成分
0.3Ncos150 + Ncos60 = -mAb + mAa/b (cos(-30))
これを整理すると、
0.24N +Ab -0.866Aa/b = 0 ...(3)

■Aの鉛直成分
0.3Nsin150 + Nsin60 -mg = mAa/b (sin-30)
これを整理すると
1.016N +0.5Aa/b = 9.81 ...(4)

計算結果は、次の通りです。
■N = +9.39
■N' = +29.16
■Ab: Bの加速度 = -1.79
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = +0.537 m/s^2
====================================================

お礼日時：2013/04/23 12:31

No.8 回答者： buturikyou 回答日時： 2013/04/22 19:19

ｆとｆ’とは作用と反作用の関係ですから、法則により、ｆ＝－ｆ’以外にはなりませんよ、しっかりしてください！

No.9 回答者： phyonco 回答日時： 2013/04/22 20:02

#1 Phyoncoです。

大分苦労していますね。基本的に水平方向の運動量保存の議論が正しいです。それと矛盾した結果が出たということなので、もう一度ご自分の計算を見直されてはいかがですか？他の方へのお返事をさっと眺めたところ、まずNの値がおかしいと思います。３０度なんだからN = sqrt(3)/2 * mg になりませんか？m= 1 Kg, g = 9.8 m/s^2 とするとあなたの数値は合っていません。AがBの斜面に沿って受ける摩擦力fの大きさはこのNの0.3倍ですね？で、fの水平成分はまた３０度を使えばsqrt(3)/2 * 0.3 * Nとなります。Nの水平成分は左へN/2なので、Bが受ける水平左方向の力はN/2 - sqrt(3)/2 * f = (N/2)*(1 - sqrt(3)/2 * 0.3) > 1となって、ちゃんと左方向への加速度が出てきます。

この回答へのお礼

phyonco様、返答下さりありがとう御座います。皆様に回答頂き、色々と見えてきました。たしかに、Bは左にしか動きようがありません。が、計算結果上、Bが右に加速されるため、困っております。

なお、ご指摘頂いた点ですが、
もしブロックBが動いていなければ、角度６０度方向の成分は相殺してN - mgcos30 = 0となりますが、
ブロックAの加速度は単純に角度-30度で下るわけではなく、同時にブロックBの動いているため、角度60度方向の成分がゼロにはなりません。~Aa = ~Ab + ~Aa/b (~はベクトルの矢印表記）。

私の計算結果をお示し致します。
どの点が問題か、はたまたこの出題された問題に何か破綻のようなものが起きているのか知りたく、どうか今一度議論頂ければと思います。

====================================================
四角ブロックA 質量 1kg
三角ブロックB 質量 2kg
三角ブロックの角度 Θ： 30度
AとBの間の摩擦係数:0.3
Bと床の間の摩擦係数： 0.2

これから、計算しますと、

■N = 9.39
■N' = 29.16
■Ab: Bの加速度 = 1.79 m/s^2 (方向は右向き）
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = 0.537 m/s^2 （方向は右斜め下向き、エックス軸に対して角度マイナス30度）


となりました。

方程式（４つの未知数、４つの方程式）をお書きしますと、

■Bの水平成分
Ncos(-120) + 0.3Ncos(-30) +0.2N' = -MAb
これを整理すると
-0.24N + 0.2N' +2Ab = 0 .....(1)

■Bの鉛直成分
Nsin(-120) + 0.3Nsin(-30) + N' -Mg = 0
これを整理すると
-1.016N + N' = 19.62 .....(2)

■Aの水平成分
0.3Ncos150 + Ncos60 = -mAb + mAa/b (cos(-30))
これを整理すると、
0.24N +Ab -0.866Aa/b = 0 ...(3)

■Aの鉛直成分
0.3Nsin150 + Nsin60 -mg = mAa/b (sin-30)
これを整理すると
1.016N +0.5Aa/b = 9.81 ...(4)

計算結果は、次の通りです。
■N = +9.39
■N' = +29.16
■Ab: Bの加速度 = -1.79
■Aa/b: AのBに対する相対加速度 = +0.537 m/s^2
====================================================

お礼日時：2013/04/23 12:41

No.10 回答者： buturikyou 回答日時： 2013/04/22 21:07

メンゴ！（８）の回答者ですが、老眼でよく見えないままで答えてしまいました、今度は老眼鏡をかけて答えます・・。

そもそも図中の表示がベクトル表示でないので「よく考えて符号を決めろ」あるいは「図に書いてある通りだよ」という意味かと存じます。ここで「重力運動だが水平成分の話だから内力による運動の話と同じ」「内力による運動では重心が変化しない」と見当を立てて「左へ動く」と推論したらどうでしょうか？

この回答へのお礼

回答下さりありがとう御座います。また、図の表記がクリアでなくご迷惑をおかけしました。
皆様に回答を頂き、ようやく私も、Bが動くとしたら左しかありえない、ということが理解できました。

次なる問題は、計算結果上、Bが右に加速されるということとなり、現実では起こりえないことになってしまったということであります。この問題を理解したく、ぜひもう一度ご教示下さいますととても助かります。

私の計算結果は他の回答者様のお礼欄にお示ししました。どうか、これをご覧いただき、私の解法に何か問題があるか、もしくはこの出題に何か破綻のようなものが起きていないか、などお教え頂けないでしょうか。
（計算結果をここにお示ししたいのですが、回答者様全員のお礼欄に張り付けますと、ページが長くなって、かえって煩わしくなってしまうかと思いまして、ここには張り付けないこととしました。ご理解のほどよろしくお願いします。）、

お礼日時：2013/04/23 12:48