高校数学 数列

第n項がa(n)=[log{2}(n)] (2は底 nは真数) (n=1,2,3…)で表される数列{a(n)}について、
Σ[k=1～(2^m)-1] a(k)
を求めよ。
ただし、[log{2}(n)]はlog(2)nを超えない最大の整数を表す。また、mは自然数とする。

2^(k-1)≦n≦2^k-1のとき、
k-1≦log{2}(n)≦log{2}(2^k-1) より、
[log(2)n]=k-1
また、[log(2)n]=k-1となるようなnは、2^k-1-2^(k-1)+1=2^(k-1) 個ある。
よって、
Σ[k=1～(2^m)-1] a(k)
=Σ[k=1～m] (k-1)*2^(k-1)
=Σ[k=0～m-1]k*2^k
=Σ[k=1～m-1]k*2^k
これをSとおくと、
2S-S=Σ[k=0～m-1]k*2^(k+1)-Σ[k=0～m-1]k*2^k
⇔S=(m-1)*2^m-Σ[k=0～m-1]2^k
=(m-2)*2^m+2ー(答)

添削お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/13 23:26

前半で

k-1 ≦ log{2}(n) ≦ log{2}(2^k-1) より
[log(2)n] = k-1
としているのは、
k-1 ≦ log{2}(n) ≦ log{2}(2^k-1) < log{2}(2^k) = k より
[log(2)n] = k-1
まで書いた方がいいような気はするが…
これは、挙げ足取りかもしれない。

後半には、計算違いがある。
2S-S = Σ[k=0～m-1]k*2^(k+1) - Σ[k=1～m-1]k*2^k
⇔　S = Σ[k=1～m](k-1)*2^k - Σ[k=1～m-1]k*2^k
⇔　S = (m-1)*2^m + Σ[k=1～m-1]{(k-1)*2^k - k*2^k}
⇔　S = (m-1)*2^m - Σ[k=1～m-1]2^k
最後の Σ は k=1 から。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/05/17 07:05