ラグランジュの未定乗数法と固有値問題

数学の質問です。

ラグランジュの未定乗数法で独立な偏導関数を求めた後未定乗数を求める時に、固有値問題にならないケースをお教え頂けませんでしょうか。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/01 17:42

f(x, y)= xy

g(x, y)= x + y - 1 = 0

この回答への補足

早速のご回答誠にありがとうございます。

数学の素人で質問の仕方が非常に稚拙で申し訳ないのですが、
宜しければ必要十分条件もお教え頂けましたら助かります。

私が考えていた問題では変数x,y,z,定数a,b,c,d,e,fに対し、
k(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2eyz+2fzx
という関数kの極値を
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1
という拘束条件のもと求める問題でした。

独立な偏導関数を連立させると
　a-λ　d　　f　　 x
[ d　　b-λ　e　　][ y ]=0
f　　 e　　c-λ z
（表記が下手で恐縮ですが、3×3マトリクスを3行1列のベクトルに掛けた形です。）
という形が出て来て、マトリクスの行列式を0にする形になったので、
これは固有値問題だと思ったのですが、固有値問題にならない場合というのは
どういう場合なのかと理解が不安になった次第です。

工学の独習を始め、数学は苦手なのですが気になって不安になってしまい、
追求しすぎて本筋の力学から逸れすぎない様に知りたいと思い質問させて頂いた次第です。

申し訳ありませんがどうぞ宜しくお願い致します。

補足日時：2013/07/01 19:01

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/01 21:52

>宜しければ必要十分条件もお教え頂けましたら助かります。

固有値問題じゃなくて、行列式の正則性の問題のことだと思いますが・・・

必要十分条件はよくわかりませんが、

∂f+g/∂x, ∂f+g/∂y, ∂f+g/∂z が ax + by + cz

という形にならなければ AX=0 の形になりません。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
行列式の正則と関連があるのですね…

偏導関数の式の形の制約についてお教え頂き、大変参考になりました。
誠にありがとうございます。
もう少し調べてみようと思います。

お礼日時：2013/07/02 11:59