数３ 放物線

放物線y^2=4pxの焦点をFとする。点Qがこの放物線上を動くとき、線分FQの中点Pの軌跡を求めよ。

ただし、pは0でない定数とする。

お願いします。

No.2 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/08/04 02:55

y^2 = 4pxの焦点Fは(p,0)

y^2 = 4px上のQ(t^2/4p,t)　　　　　（y=tとすると、x = t^2/4pだから）
FとQの中点Pを(x,y)とすると
　x = (p + t^2/4p)/2　　　　（１）
　y = t/2　　　　　　　　　　（２）
（１）と（２）式からtを消去すると、
　x = {p + (2y)^2/4p}/2　　　　　（（２）式よりt=2yだから、t=2yを（１）式に代入した）
　y^2 = 2px - p^2
よって、中点Pの軌跡は
　y^2 = 2px - p^2

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/04 01:54

F(p,0),Qはy>0の部分を考え、後でｘ軸対称に折り返すことにする。

Q(t,2√(pt))

P(x,y)とすると

x=(p+t)/2 (1)

y=√(pt)　　　(2)

(1)、(2)よりtを消去して

y^2=2xp-p^2

これは(p/2,0)を頂点とする放物線である。ｘ軸でおりかえしても式は変わらない。