チョコミントアイス

放物線y^2=4pxの焦点をFとする。点Qがこの放物線上を動くとき、線分FQの中点Pの軌跡を求めよ。

ただし、pは0でない定数とする。

お願いします。

A 回答 (2件)

y^2 = 4pxの焦点Fは(p,0)


y^2 = 4px上のQ(t^2/4p,t)     (y=tとすると、x = t^2/4pだから)
FとQの中点Pを(x,y)とすると
 x = (p + t^2/4p)/2    (1)
 y = t/2          (2)
(1)と(2)式からtを消去すると、
 x = {p + (2y)^2/4p}/2     ((2)式よりt=2yだから、t=2yを(1)式に代入した)
 y^2 = 2px - p^2
よって、中点Pの軌跡は
 y^2 = 2px - p^2
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F(p,0),Qはy>0の部分を考え、後でx軸対称に折り返すことにする。



Q(t,2√(pt))

P(x,y)とすると

x=(p+t)/2 (1)

y=√(pt)   (2)

(1)、(2)よりtを消去して

y^2=2xp-p^2

これは(p/2,0)を頂点とする放物線である。x軸でおりかえしても式は変わらない。
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