数学の問題で実数解の個数を求める問題がわかりません

Question

|X2+X-2|=X+k　の異なる実数解の個数を調べよ。ただし、ｋは定数とする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
補足説明　　　　X2はXの二乗です。　　｜　｜は絶対値という意味です　。

この問題がわからなくて、本当に困っています（泣き）
どうか早めによろしくお願い致します。

KEIS050162 · Accepted Answer

１）その１
Y = |X^2+X-2|
のグラフを描いて、
Y = X+k
の交点が、kの値の範囲で場合分けして、交点の個数を調べる。

Y = |X^2+X-2|　のグラフは、
Y = X^2+X-2のグラフが　負　となるエリアを正側に折り返せば出来ます。

Y = X^2+X-2 = (x+2)(x-1)　で、下に凸の放物線ですから、

-2<X<1　で負になります。なので、この範囲では、X軸でくるっと折り返して　Y = -(X^2+X-2)のグラフになります。

Y=X+k　は、(0, k)　がY軸との交点になる変化率１の直線なので、kの値によって上下させれば、先の放物線との交点の数が変わります。その変わり目を境界にして、kの範囲毎に交点の個数をカウントしてください。

放物線と直線の接点を求めるのがやや面倒くさいですが、
-(X^2+X-2)=X+k　から、

X^2+X+X-2+k = 0 の方程式が重根を持つ条件（判別式=0）からkを求めれば、簡単に計算出来ます。

２）下の方法でも答えは同じになります。
グラフの描き方はやや難しいですが、上の例を参考にして描いてみてください。こちらの方が直感的に分かり易いと思います。

Y = |X^2+X-2|-X
のグラフを描いて、
Y = k
の交点が、kの値の範囲で場合分けして、交点の個数を調べる。

Y = |X^2+X-2|-X　は、１）と同様ですが、

x<-2、1<xの領域では、Y = X^2+X-2-X = X^2 - 2
-2<X<1　の領域では、Y = -(X^2+X-2)-X = -X^2 -2X + 2

と、ふたつの領域に分けてグラフを描きます。１）よりも複雑な折り返った放物線になるはずです。

あとは、Y=k　（X軸に並行な直線）を上下させ（即ち、kを変化させる）ることにより、Y=kと上の変な形の放物線の交点の数がどうなるかを調べてみます。

放物線が折り返った点、頂点を境に、交点の数が変わるのが分かるかと思いますので、それぞれのkの範囲毎に交点の数をリストアップしてみてください。

１）、２）どちらも同じ答えになるはずなので、分かり易い方からやってみてください。

一応やってみたのですが、多分、下記の様になるかと思われます。（間違ってたらごめんなさい）

3 < k      2個
k = 3      3個
2< k<3    4個
k=2        3個
-1<k<2   2個
k=1        1個
k < -1     0個

spring135 · Answer

|x^2+x-2|=x+k

|x^2+x-2|-x=k

y=|x^2+x-2|-x   (1)

y=k　　　　　　　　(2)

|X2+X-2|=X+k　の異なる実数解の個数というのは(1)と(2)の交点の個数ということはわかりますか。

(2)はx軸に平行は直線であることは知っているでしょう。

問題は(1)のグラフです。

まずy=|x^2+x-2|を書くこと。

次にこのグラフにy=-xというグラフを足せば(1)が描けます。

これができれば、(2)との交点の数は一目瞭然です。

細かいところで間違えるでしょう。

それで痛い目に合うことによって先に進めます。

１）その１