公共経済学の問題です。

公共経済学の課題で詰まっています。

消費者AとBが2材XとYを完全競争で自由に交換できる状況で
効用関数が
A=12Xa+3XaYa
B=3XbYb+9Yb
であり、財（X,Y）をAは(10,12)Bは(17,20)持っているものとする。
Xの価格が2、Yの価格が１の時

１）XとYの超過需要または超過供給はいくらか？
２）市場均衡におけるX財のY財に対する価格比はいくらか？

よろしくお願いします。

No.1 回答者： statecollege 回答日時： 2013/11/12 18:02

後で使うので、財Xの価格をPx、財YのそれをPyと書くと、消費者Aの効用最大化問題は

　　
(1) max A = 12Xa + 3XaYa

s.t.

(2) PxXa + PyYa = 10Px + 12Py

を解く。予算制約(2番目の式）の右辺は消費者Aの初期保有量の市場価値（消費者Aの所得）だ。この最大化の１階
の条件は、

　(12+3Ya)/3Xa = Px/Py

すなわち、

(3)　　(4 + Ya)/Xa = Px/Py

となる。

（なぜ、こうなるかは

　　http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8303774.html

の私の回答を参照されたい。）


(2)と(3)を連立させてXaとYaについて解くと、PxとPyの関数であるそれらが、消費者Aの財Xと財Yの需要（関数）だ。これを解くと、

(4)　　Xa = 5 + 8Py/Px

(5) Ya = 4 + 5Px/Py

同様にして、消費者Bの効用最大化問題を解いて、消費者Bの財Xと財Yの需要を求めると

(6)　　Xｂ = 7 + 10Py/Px

(7) Yb = 10 + 10Px/Py

となる（以上、確かめてください。計算間違いしていると以下の議論は無意味？になる！）
財Xと財Yの市場需要はそれぞれ(4)と（6)、(5)と(7)より

(8)　　X = Xa + Xb = 12 + 18Py/Px
(9) Y = Ya + Yb = 14 + 15Px/Py

となる。よって、財Xと財Yの超過需要は(8)と(9)より

(10)　　　X - (10+17) = -15 + 18Py/Px
(11) Y - (12 +20) = -18 + 15Px/Py

となる。価格がPx=2、Py=1のときの、財XとYの超過需要を求めるためにはこれらの価格を(10)と(11)にそれらの価格を代入すればよい。均衡価格比は(10)あるいは(11)において超過需要＝０となる価格比Px/Pyを求める。（(10)がゼロとなる価格比が見つかれば、その価格比のもとで(11)は必ずゼロとなることを確かめよ、これをワルラスの法則という。）