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log1=0です。底はネイピア数とします。変形して、log1=log(-1)^2=2log(-1)=0
よって、log(-1)=0となっても良さそうです。
でも、オイラーの定理よりe^πi=cosπ+isinπ=-1より、log(-1)=πi+2πn
となります。最初の式のどこに問題があるのでしょうか?

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A 回答 (7件)

 底がeの対数log(x)は、指数関数e^xの逆関数として定義されています(eは1以外のどんな実数でもいいのですが、記号だけの問題ともいえるので、とりあえずeにしておきます)。



 まず、実数の範囲で考えてみます。

 y=e^xであるなら、x=log(y)なわけですが、log(-1)を考えるなら、-1=e^xとなるxは何かになります。実数で考えるなら、e^x>0ですから、解としてありません。

 さらに、1=e^xはx=0で成り立ちます。では、両辺を2乗してみます。1^2=e^(2x)、ここまではいいでしょう。

 1^2=(-1)^2から、(-1)^2=e^(2x)としても問題ありません。

 では、その両辺のルートを『単純に』取ってみましょう。-1=e^xが成り立つことになります。これを満たす実数xはないのでした。さらに、そもそもx=0だったのでした。

 これでは矛盾です。数学として成り立ちません。ならば、導出に問題があるはずです。

 実数を2乗してルートを取ったとき、正負の両方が許される保証はあったでしょうか。ない例はすぐに思いつきます。

 1=1, (-1)^2=1 ∴(-1)^2=1, しかし√{(-1)^2}=-1でもよいとすると、1=-1となり矛盾するから、√{(-1)^2}≠-1でなければならない。

 ルート内に負数を許すのではなく、√(-1)のようなものを数として扱えるために、それをiと書いて虚数を実数bを使ってbiとすることにし(b>0なら√(-b)のようなものを扱うための虚数)、実数aと併せて複素数をa+biとしたのでした。

 お示しの式変形の中では「log(-1)^2=2log(-1)」が、そう拡張していいかどうかを検討せずに使っています。2乗してルートを取ったときと、同様であるわけですね。

 そこが間違いで、そうするためには、対数関数(ひいては指数関数)の計算規則を正しく拡張しておかなければならなかったわけです(その正しい結果の一つが、言及されておられるオイラーの定理)。
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この回答へのお礼

素人にも理解できる説明で、本当にありがとうございました。

お礼日時:2014/02/04 00:41

夕暮れの寝言を訂正。



> LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π
> LN{e^(iπ) } = iπ
>なのでしょうネ。

 LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π≡0 (mod 2π)

 LN{e^(iπ) } = iπ

  
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< ANo.3


 ↓
>補足 複素数まで、範囲を拡大しての質問です。
   ↓
…だとすれば、

 LN(1) = LN{ (-1)^2} = 2*LN(-1) = 2*LN{e^(iπ) } = i2π
 LN{e^(iπ) } = iπ

なのでしょうネ。

  
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定義域を (0 でない) 複素数に拡張すること自体は構わないんだけど, 値域はどう設定しますか?



log の逆関数である指数関数 exp が周期 2iπ の周期関数であることは認識できていますよね?

この回答への補足

数学はトーシローなので、あまりよく理解できてないので、今回ふと疑問に思ってしまいました。周期はオイラーの定理を見れば、2πらしく思える程度です。
基本が、分かってませんので、分かりやすく解説していただけないでしょうか?

補足日時:2014/01/24 17:33
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一般に log(a^b)=b log(a) はaが正の数でないと成り立ちません。


従って log(-1)^2=2log(-1)が間違いですね。

この回答への補足

複素数まで、範囲を拡大しての質問です。宜しく願います。

補足日時:2014/01/24 17:07
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この回答へのお礼

log(a^b)=blog(a)は、aが正の実数のみ偶然成立すると言うことなんですか?
何となく分かってきました。ありがとうございます。

お礼日時:2014/01/24 22:22

x=1とすると、


x^2=1
x=-1のときもx^2=1であるから、xは‐1に変身してもよさそうなものです。

といっているのと同じことですね。

この回答への補足

z=x+iy=re^iθで、x=-1,y=0,r=1,θ=πの時、
log(-1)=log(e^iπ)=iπと言うオイラーの定理は、何となく分かります。
ただ、log(-1)^2≠2log(-1)にならない理屈(屁理屈?)が、自分には理解できないのです。

補足日時:2014/01/24 20:17
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>最初の式のどこに問題があるのでしょうか?



0=log1=log(-1)^2≠2log(-1)≠0

この回答への補足

logz=log|z|+arczと言う事は聞いた事があります。
でも、何故log(-1)^2≠2log(-1)何ですか?
絶対値が必要なんでしょうか?

補足日時:2014/01/24 00:24
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Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
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=-1/x+C

です。

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Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

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1/(1+x)の積分形
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Aベストアンサー

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∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

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常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
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Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
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解説お願いします!!

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>>>logとlnの違いは何ですか??

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「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
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>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

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一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

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ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

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1)
y=e^x
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(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
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Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。


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