数学（論理構造）

わたしは高１で、数３の微積分まで履修をすすめたのですが、ここまあ？でやってきて、自分が肝心な事が全くわかっていないのではないのかという不安に駆られたので、質問します。
数学の答案においては、十分性（AならばBが成り立つ）ということが担保されて、議論が進んでゆくのでしょうか?（つまり、十分性がなりたてばよい）
もしくは、必要十分性が担保されて、議論が進んでいくのでしょうか？（つまり、必要十分性が成り立たなくてはならない）
微積分までやったのに、問題の必要な論理構造とはなにか？という数学の基本をおろそかにしていました。
また、教科書の論理の部分を読んでも、そのような事は全く書いておりません。
教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： itshowsun 回答日時： 2014/02/10 22:46

十分性も必要十分性もまずは横において

論理構造というのを考えましょう。
論理学には論証というものがあり、これが論理構造にあたります。
ここで重要となってくるのが、「推論規則」です。
古典論理（命題論理、述語論理）には推論規則は一つしかありません。
すなわち、
「Aが真、A→Bが真ならば、Bは真である」
これがモーダス・ポネンスです。
論理構造とは、公理系と共にこの推論規則を使うことです。
A→Bは単なるAとBの含意演算にしか過ぎません。
そこに留まることなく、
推論規則を使って論証を進めなければなりません。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2014/02/10 22:20

ここでお尋ねなのは、問題の論理構造じゃなくて、答案の論理構造でしょう。

　「必要条件、十分条件」は P⇒Q という形の論理式でだけ意味を持つ用語です。
　P⇒Sを証明するために、P⇒Q、Q⇒R、R⇒Sをそれぞれ証明する、というのはひとつのヤリカタです。が、他にもいろんな証明のやりかたがあり得ます。たとえば、A∧P⇒Sと￢A∧P⇒Sを証明してもいいんだし、もちろん￢S∧Pが矛盾であることを証明しても良い。
　しかし、「条件X(x)を満たすxを求む」というタイプの問いであれば、それが求めているのはP⇒Sの形の証明ではなくて、{x | X(x)}という集合を尋ねている。だから、「必要条件、十分条件」という話には収まりません。

　ANo.1の補足にある例(1)はどうか。酷い問題です。というのは、式が恒等式（任意のxについてこの等式が成立つ）なのか方程式（あるxがこの等式を満たすかも知れない）なのかを明示していないからで、こんな不注意な出題をするボケは教師落第である。
　でもこの例はご自分で作った（あるいは抜き書きした）んじゃないでしょうか。その際に、上記で指摘した肝心の話が抜けてしまった。
　さて、もしこれが
　　xに関する恒等式　ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x＋２１が成り立つ時、a,b,cを定めよ。
という問題であるなら、それは
　　{<a,b,c> | ∀x(ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x＋２１)}
を尋ねています。つまり、求められているのは、任意のxについてこの等式が成立つ（恒等式）という条件を満たすような3つ組<a,b,c>全部の集合であり、しかもこの式が恒等式にならない<a,b,c>は一切含まない集合である。
　任意のxについて式が成立つというんだから、xにテキトーな値を代入してみればa,b,cを算出することができる。でも、もっと他の<a,b,c>があるかも知れません。なぜなら、いくら「定めよ」なんて尋ねられていても、本当に「定まる」かどうかは保証の限りじゃないんですから。もし他にも<a,b,c>があるなら、全部を答えなくてはいけない。一方、「条件を満たす<a,b,c>は1通りしかない」というのなら、その場合も確かに1通りしかない、という事を証明する必要があります。
　さらに、そ(れら)の<a,b,c>が実際にこの式を恒等式にする（任意のxについて成立たせる）ことを証明しなくちゃいけません。どんなa,b,cを持ってきても式が恒等式にならない、ということだってあり得るんですから。
　これら全てが
　　{<a,b,c> | ∀x(ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x＋２１)}
を答えるということに含まれていますんで、全部やってなきゃ減点されても文句は言えません。

　ちうわけで、おそらくお困りのポイントは「必要条件、十分条件」ばかりではなく、「任意のxについてP(x)（∀xP(x)）」と「あるxがあってP(x)（∃xP(x)）」の区別にもあるんじゃないでしょうかね。

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/10 15:45

補足を拝見し、僕にはきちんと答える知識がなかったみたいです

そこで、逃げるようですが、

Yahoo！　知恵袋に類似した Q&A を見つけました

数学の問題において、 十分性の確認 とはどういう意味ですか？
またどういう問題でそれをするのですか!?
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

これは具体例で説明しているので、tjag さんの疑問、解消しませんか？

｜　(1)ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x＋２１
｜　が成り立つ時、a,b,cを定めよ。
｜　→適当な値をｘに代入して
｜　（この場合では、ｘ＝－１、３、０）a,b,cを求める。
｜　３つのｘについて成り立つa,b,cにすぎないから、
｜　a,b,cがこれこれの値をとるとき、等式が成り立つとは限らないから
｜　十分性を確認しようとするが、異なる３つの値を３次以下のｘの
｜　多項式に代入して成り立つから、十分性は担保される。
｜　この場合必要十分性が成り立つ

「十分性は担保される」って意味わかりませんでした

ただ、x の2次式が、異なる３つの x の値で等しければ、
それらの２次式は等しいと言って良いのですよね
（いくつかググったけど、探し出せませんでした）

｜　(2)√（ｘ＾２＋２）＝４のとき、両辺を２乗して、
｜　ｘ＾２＝１４⇔ｘ＝±√１４
｜　ｘ＝a⇒ｘ＾２＝a^2は成り立つが、
｜　その逆は成り立たないから、十分性を確認する。

両辺を二乗する前に、両辺が正であることを確認したら、
必要十分条件で論理を進めてることになるのかと
思ってました

これ以上の追加質問は僕にはよくわからないので、
他の回答者にお任せします

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/10 12:56

＞　数学の答案においては、十分性（AならばBが成り立つ）

＞　ということが担保されて、議論が進んでゆくのでしょうか?
＞　（つまり、十分性がなりたてばよい）

数学の問題を解く時、問題文にいろいろ条件が示され、
A（← 問題文）ならば 、B（←解答）が成り立つ）

というように議論を進めます

問題文が十分条件で、解答が必要条件です

解答が　Ａ＝ 5　とかだったとして、

A ＝ 5 となるような問題文は無限に作れるので、
問題文は必要条件ではありません

この回答への補足

数学の答案では、AならばBがなりたてば、次に議論を進める。ということでしょうか？
抽象論だけではあまりよくないので、わたしが数３までやってきて、論理構造が関係していると思う簡単な例を書きます。
（例）
(1)ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x＋２１が成り立つ時、a,b,cを定めよ。
→適当な値をｘに代入して（この場合では、ｘ＝－１、３、０）a,b,cを求める。
３つのｘについて成り立つa,b,cにすぎないから、a,b,cがこれこれの値をとるとき、等式が成り立つとは限らないから十分性を確認しようとするが、異なる３つの値を３次以下のｘの多項式に代入して成り立つから、十分性は担保される。
この場合必要十分性が成り立つ
(2)√（ｘ＾２＋２）＝４のとき、両辺を２乗して、ｘ＾２＝１４⇔ｘ＝±√１４
ｘ＝a⇒ｘ＾２＝a^2は成り立つが、その逆は成り立たないから、十分性を確認する。

補足日時：2014/02/10 13:44