7^50を6で割った余り。高校数学

こんにちは。

高校数学A、整数の性質の分野です。

参考書でやった問題の解説でわからない箇所が出ました。


7^50を6で割った余りを求めよ。

という問題の解説で(合同式は使いません)

7を6で割った余りは1

★よって、7^50を6で割った余りは1^50すなわち1を6で割った余りに等しい。

したがって7^50を6で割った余りは1

解説の★の部分がわかりません。
もし1を6で割ったとしたら余りは出ないのではないですか？

商が6分の一になるだろうとも思ってしまいました。

証明や教科書を読み漁って
自分で書いてみると確かになるほど余りは1になるのですが…

この1文の意味だけ分かりません。

どなたかご教授お願い致します……

No.5 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/03/13 07:25

>高校数学A、整数の性質の分野です。

　扱う数を整数に限っている場合は、ちょっと注意が必要なんです。ある意味、数学に理由を求めるのではなく、数学でのお約束みたいな感じもします。ですので、数学的にスッキリしたいと思うと、うまく行かないかもしれません。そういうお約束、ということで妥協するしかなさそうな気がします。

　さて、式に使う数も答えも、全て整数に限るとします。整数同士を足算したら、答は必ず整数です。整数同士を引算しても、答は必ず整数です（自然数だと、マイナスの数が出るケースがあるので、答は自然数とは限らない）。

　割算だけは、整数同士の割算でも（ただし割る数に0は定義上、ないです）、答は整数になるとは限りません。小数や分数にせざるを得ない場合も、多々あるわけですね。

　そのため、答も含めて整数だけの四則演算を考えるときは、割算の答を商と余りの2種類を用います。

　例えば、7÷3＝7/3＝2と1/3、と帯分数に書くとします。整数部分の2はいいとして、分数部分の1/3は小数点以下に対応します（0.333…）。小数点以下がある数は整数ではありません。

　そこで、整数だけで考えるために、まず整数部分の2を商とします。そして、分数部分の1/3は、分子の1だけを取り出して、それを余りとします。注意点は、分数として約分できる場合でも、約分はしないことです。例えば、14÷6＝2と2/6ですが、これを約分して2と1/3とするのではなく、2/6の分子を使って、余り2とします。

　整数だけで計算するときは、そういうお約束なんですね。ですので、

>★よって、7^50を6で割った余りは1^50すなわち1を6で割った余りに等しい。

は確かに、

>商が6分の一になるだろうとも思ってしまいました。

なのですが、1を6で割った答の6分の一（1/6）の分子だけを取り出して、余り1とするわけです（なお、整数部分が0の帯分数と考えて、商は0とします）。

この回答へのお礼

余りの概念から詳しく細かく教えて頂いて…！
完璧に理解することが出来ました！本当にありがとうございました！

お礼日時：2014/03/13 08:28

No.4 回答者： asuncion 回答日時： 2014/03/13 07:08

整数での話ですので、

1を6で割った商が1/6になる、
という考え方は正しくありません。
商 = 0、あまり = 6
というのが正しい考え方です。

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/13 06:59

No.2 です

＞　もし1を6で割ったとしたら余りは出ないのではないですか？

に答え忘れてました

1 を 6 で割った余りは 1 です

Wikipedia
除法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95

整数 m を n で割ったとき、整商が q で剰余が r であることを

m = qn + r かつ 0 ≤ r < n
が満たされることであると定義する。

q は整数ならよいので、0 でもよく、1 を 6 で割った余りは 1 です

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/03/13 06:53

7　　 ＝ 6×1 ＋ 1

7^2　＝ （ 6×1 ＋ 1）^2
　　　＝6^2 ＋ 2×6 ＋ 1
　　　＝6（6 ＋ 2）＋1

となります

7^n を 6で割った余りが 1 であるならば、
つまり 6k ＋ 1 の形になるならば　（ｎ、k は正の整数）

7^（n＋1） ＝（6k ＋ 1 ）（6＋1）
　　　　　　 ＝6^2 k ＋ 6k ＋ 6 ＋ 1
　　　　　　 ＝6（6k ＋ k ＋ 1）＋1

となり、7^（n＋1） も 6 で割った余りが 1 となります

以上から数学的帰納法により、いかなる正の整数に
ついても、7^n を 6 で割った余りは １となり、

7^50 を 6 で割った余りも 1 となります

No.1 回答者： teppou 回答日時： 2014/03/13 06:52

　もっとよい回答があるかもしれませんが、こういうのはどうでしょう。

　７個のリンゴから６個とると、あまり１個。

　その１個から６個を取ろうとしても取れないので、あまり１個。

この回答へのお礼

いえいえ！あえて文章で説明して頂いてありがとうございます。
根っからの文系人間の私にはピッタリな解説でした（笑）
ますます理解が深まりました！皆さん朝早くから本当にありがとうございます！

お礼日時：2014/03/13 08:33