x∈Q、y∈Q、x+y∈Z、xy∈Z ⇔ x∈Z、y∈Z
(⇐の証明)Z⊂Qより。
(⇒の証明)a=x+y∈Z、b=xy∈Zとおく。
x、yはt^2-at+b=0の解
x、y={a±√(a^2-4b)}/2
x、y∈Qなので、√(a^2-4b)∈Q
(a^2-4b)は平方数で、(a^2-4b)=c^2(ただしc>0)とおくと、
x=(a+c)/2、y=(a-c)/2
ここで、xy=(a^2-c^2)/4∈Zなので、
a、cはともに偶数かともに奇数。
よって、x=(a+c)/2∈Z、y=(a-c)/2∈Z
ところで、
x∈Q、y∈Q、z∈Q、x+y+z∈Z、xy+yz+zx∈Z、xyz∈Z ⇔ x∈Z、y∈Z、z∈Z
は成り立つのでしょうか?
反例、または証明を教えていただきたいです。
証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。
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