次の数学の問題の解き方、解答を教えてください。

問題
a,bを実数の定数とする。0<x<1において、不等式

1 - (1/2)x - ax^2 <√(1 - x) < 1 - (1/2)x -bx^2

が常に成り立つようなa,bの範囲を求めよ。


よろしくお願いします。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/06 19:10

1 - (1/2)x - ax^2 <√(1 - x) < 1 - (1/2)x -bx^2

- ax^2 <√(1 - x)-1+x/2 < -bx^2

ax^2>1-x/2-√(1-x)>bx^2

a>[1-x/2-√(1-x)]/x^2>b

f(x)=[1-x/2-√(1-x)]/x^2

とすると0<x<1におけるf(x)の最大値＝a,最小値＝bを求めればよい

f'(x)=[(x-4)√(1-x)-3x+4]/[2x^3√(1-x)]

f'(x)=0となるxを求める。

(x-4)√(1-x)-3x+4＝０

(x-4)√(1-x)=3x-4

x^3-16x=0

x=0,4,-4

0<x<1の間ではf'(x)の符号は変化しない。

f'(3/4)=1/8

よって

0<x<1の間ではf'(x)>0、すなわち単調増加

f(0)は0/0の形なので極限値に対するロピタルの定理を使う

f(0)=lim(x→0)[1-x/2-√(1-x)]/x^2=lim(x→0)[-1/2+1/2√(1-x)]/2x

=lim(x→0)[(1/4)(1-x)^(-3/2)]/2 (もう一度ロピタル)

=1/8

f(1)=1/2

答

a=1/2, b=1/8

No.2 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2014/05/08 08:21

題意は　1-x/2-ax^2<√(1-x)　 √(1-x)<1-x/2-bx^2 が常に成り立つような実数a,bはどのような範囲の数かということですが、具体的にはやや把握しづらいので、グラフで考えるのがわかりやすいでしょう。

y=√(1-x) …(1)のグラフは下の図の黒で表した部分で、放物線y^2=1-xの上半分です。
y=1-x/2-kx^2 …(2)のグラフ（問題のa,bをまとめて考えるためにkとします）は、

k=0のとき直線y=x/2　k≠0のときは放物線です。k<0のときは上に凸です。
k>0のときはkが大きいほど放物線は尖っていて、xの増加につれて急激に減少します。

題意が成り立たないのは、(1)(2)のグラフが0<x<1 の範囲で交わる場合(下の図の赤)なのでこの交点を求めます。
√(1-x)≂1-x/2-kx^2　として　両辺を2乗して整理すると
x^2(k^2x^2+kx+(1/4-2k))=0
x=0 または　k^2x^2+kx+(1/4-2k)=0　…(3)

ここでx=0は(1)(2)のグラフがkの値にかかわらず常に(0.1)で交わることを示します。
両辺を2乗したために同値性が損なわれていて、(3)の2つの解のうち(1)(2)の交点Pを示すのは大きい解の方だけです。(小さい解はy=-√(1-x)：図の黒の点線との交点)

(3)をxについて解くと大きい方の解はx=(2√(2k)-1)/2k …(4)だから

x=0 のとき(2√(2k)-1)/2k=0 を解いて　k＝1/8
x=1 のとき(2√(2k)-1)/2k=1 を解いて　k＝1/2

ここで(4)を関数とみてf(k)=(2√(2k)-1)/2k とすると
kで微分するとf'(k)=(1-√2k)/2k なので
1/8≦k≦1/2 の範囲ではf(k)は単調に0から1まで増加します。

したがって(1)と(2)が0<x<1 の範囲で交点を持たない条件は
(2)が(1)の上方にあるk≦1/8　または
(2)が(1)の下方にあるk≧1/2　です。

問題の答えとしては　a≧1/2　b≦1/8です。

No.3 回答者： staratras 回答日時： 2014/05/08 08:22

No.2の図を添付します。