高校数学、定積分の性質

a,bを定数、ｘはｔに無関係な変数とする。
(1)∫（a~b)f(t)dtは定数である。
、、、ｆ（ｘ）の不定積分の１つをF(x)とすると、
∫（a~b)f(t)dt＝[F（ｔ）][上ｂ、下a]=F(b)-F(a)
すなわち∫（a~b)f(t)dtはｔの値に無関係な定数となる。とあるのですが、どういう意味でしょうか?
定積分の結果は不定積分∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝F(t)＋Cのように、ｔの関数にはならず、定数になる。という意味でしょうか？それとも∫（a~b)f(t)dt＝∫（a~b)f(ｘ)dｘのように、積分変数は結果に無関係という意味でしょうか?
(2)∫（a~x)f(t)dt,∫（a~b)f(x,t)dtは積分変数ｔに無関係で、ｘの関数である。
、、、∫（a~x)f(t)dt＝F(ｘ）－F(a)であるから、∫（a~x)f(t)dtはｔに無関係でｘの関数であるというのはどういう意味でしょうか?

No.2 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/06/23 15:20

質問者独自の式の書き方をしないで」他の質問や回答にならって、数式や積分の書き方をするようにしてください！

(1)
>∫[a, b] f(t)dtは定数である。
>、、、ｆ（ｘ）の不定積分の１つをF(x)とすると、
F(x)をf(x)の原始関数とすると、

>∫[a,b] f(t)dt＝[F（ｔ）][a,b]=F(b)-F(a)
>すなわち∫[a,b] f(t)dtはｔの値に無関係な定数となる。とあるのですが、どういう意味でしょうか?
I=∫[a,b] f(t)dtの積分変数のtは積分の中だけで通用する仮の変数で、積分範囲[a,b]の下限a,上限bが定数の定積分であれば、積分結果の積分値 I は定数となる。つまり、結果の式には、tは含まれない。ということです。

>定積分の結果は不定積分∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝F(t)＋Cのように、ｔの関数にはならず、定数になる。という意味でしょうか？
積分の範囲[下限、上限]に変数が含まれなければ、その通り、定数です。

>それとも∫[a, b] f(t)dt＝∫[a, b] f(ｘ)dｘのように、積分変数は結果に無関係という意味でしょうか?
これも正しいですね。積分変数は積分の中だけの仮の変数ですから、変数の文字は何でも良く、範囲[a,b]の定積分の結果の式（値）からは消えてなくなります。

(2)
>∫[a,x] f(t)dtや∫[a,b] f(x,t)dtは積分変数ｔに無関係で、ｘの関数である。

その通りです。
∫[a,b] f(x,t)dtの ｔは積分変数で積分の中だけの仮の変数である（積分結果の式には残らない）のに対し、変数xは積分の中と外に共通な変数であり、積分結果の式にはxが残ります。つまり、積分結果はxの関数になるということです。

>、、、∫[a,x] f(t)dt＝F(ｘ）－F(a)であるから、∫[a,x] f(t)dtはｔに無関係でｘの関数であるというのはどういう意味でしょうか?

積分変数のtは積分の中だけの仮変数ですから、積分結果の式（積分値）には tは消えてなくなり、積分の上限のxだけ積分結果の式に残ります。つまり、積分結果の式は xの式、すなわち xの関数である。という意味です。

お分かり？

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2014/06/23 20:56

No.1 回答者： hashioogi 回答日時： 2014/06/23 14:44

例えば、

f(x)=x
とすると
F(X)=(1/2)x^2+C
だから
∫（2~3)f(t)dt=[F（ｔ）][上2、下3]=F(3)-F(2)=(1/2)3^2-(1/2)2^2=5/2
5/2にはtという文字が含まれていないのでtの関数ではなく定数です。
というように読めますけど。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2014/06/23 20:56