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- 回答日時:
f(x)=x(-π≦x≦π)のフーリエ級数を用いることで間違いないでしょうか?
f(x)=x^2(-π≦x≦π)ということはないでしょうか?
f(x)=x(-π≦x≦π)の場合、確かにf(x)のフーリエ級数表現は、
f(x)=2*Σ[n=1~∞]{(-1)^(n+1)*sin(n*x)/n}
であることは間違いないのですが、分母が1/nとなるために、xに何を入れようとも問題(1)(2)のように分母が1/n^2となる要素が出てきません。
仮に f(x)=x^2(-π≦x≦π)である場合、f(x)のフーリエ級数表現は、
f(x)=π^2/3-4*Σ[n=1~∞]{(-1)^(n+1)*cos(n*x)/n^2} ・・・〔式1〕
となり、分母に1/n^2の要素が出てきます。このとき〔式1〕に x=0 を入れると、
0=π^2/3-4*(1/1^2-1/2^2+1/3^2-1/4^2+・・・)
⇔ -π^2/12=Σ[n=1~∞]{(-1)^n/n^2}
となりますので、問題(2)の無限級数和は、-π^2/12 と求まります。さらに〔式1〕に x=π を入れると、
π^2=π^2/3-4*(-1/1^2-1/2^2-1/3^2-1/4^2-・・・)
⇔ π^2/6=Σ[n=1~∞]{1/n^2}
となりますので、問題(1)の無限級数和は、π^2/6 と求まります。
以上貴殿の意に反しておりますが、あくまでも f(x)=x^2 のフーリエ級数表現であることをご留意下さい。
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