楕円体の内側かどうかの判別

原点を中心とした楕円体があるとします。
例えば、
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
ある点(x0,y0,z0)が楕円体表面の内側かどうかを判別する場合、
どのような手法があるでしょうか？
よろしくお願いいたします。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/20 00:02

P=x0^2/a^2+y0^2/b^2+z0^2/c^2-1

P<0なら内側

P=0なら表面上

P>0なら外側

証明するまでもないでしょう。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/08/19 23:40

点(x0,y0,z0)を点Pとします。

原点と点Pを結ぶ直線と、楕円体表面の交点の座標は
（ｐ・ｘ０、ｐ・ｙ０、ｐ・ｚ０）
と表され、ｐ＞１であれば点Pは楕円体表面の内側、
ｐ＜１であれば外側ということになります。

この楕円体表面の式は
（ｐ・ｘ０）＾２／ａ＾２＋（ｐ・ｙ０）＾２／ｂ＾２＋（ｐ・ｚ０）＾２／ｃ＾２＝１
であり、両辺をｐ＾２で割ると
ｘ０＾２／ａ＾２＋ｙ０＾２／ｂ＾２＋ｚ０＾２／ｃ＾２＝１／ｐ＾２
ｐ＞１のとき右辺＜１、ｐ＜１のとき右辺＞１