数学の微分です

f(x)=arctanxとする時f^(n)(0)をnが奇数の場合と偶数の場合に分けて求めよ

解いてくださいお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/09/03 07:14

y=f(x)とおくと

tany=x
xで微分
sec^2(y) y'=１
(1+tan^2(y))y'=1
(1+x^2)y'=1　…(※1)

y'=f'(x)=1/(1+x^2), f^(1)(0)=f'(0)=1
y''=f''(x)=-2x/(1+x^2)^2, f''(0)=f^(2)(0)=0
y'''=f^(3)(x)=-2/(1+x^2)^2+8x^2/(1+x^2)^3, f^(3)(0)=-2
y^(4)=f^(4)(x)=8x/(1+x^2)^3+16x/(1+x^2)^3-48x^3/(1+x^2)^4, f^(4)(0)=0
y^(5)=f^(5)(x)=24/(1+x^2)^3-24*6x^2/(1+x^2)^4-48*3x^2/(1+x^2)^4
+48*8x^4/(1+x^2)^5, f^(5)(0)=24
…
y^(n)=f^(n)(x) (n偶数), f^(n)(0)=0

(※1)のn階微分{(1+x^2)f'(x)}^(n)にライプニッツの公式を適用
(1+x^2)f^(n+1)(x)+2nxf^(n)(x)+n(n-1)f^(n-1)(x)=0
x=0とおくと
f^(n+1)(0)+n(n-1)f^(n-1)(0)=0
f^(n+1)(0)=-n(n-1)f^(n-1)(0)
f^(n)(0)=-(n-1)(n-2)f^(n-2)(0) (n≧2), f^(0)(0)=f(0)=0, f^(1)(0)=f'(0)=1

nが偶数(n≧2)のとき
　f^(n)(0)=0
nが奇数(n≧3)のとき
　f'(n)(0)=(-1)^2*(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)f^(n-4)(0)
　　=(-1)^3*(n-1)(n-2)・…・(n-5)(n-6)f^(n-6)(0)=…
　　=(-1)^((n-1)/2)*(n-1)・…・2・1)f^(1)(0)
　　=(-1)^((n-1)/2)*(n-1)!

この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます

お礼日時：2014/09/03 09:16