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14で割って12余り、19で割って5余る最小の正の整数xを求めよ。 回答解説お願いしま

A 回答 (3件)

かけ算と割り算ができる能力、と、最少の自然数をキーワードにすれば解けるよ。


解き方を学んでから解く方法も大切だけど、問題を理解して、やる気があれば、解法のアイデアが浮かぶ事もある。
 xは14で割って12余る最少の自然数だから14m+12・・・(1)とおけるし
 またxは19で割って5余る最少の自然数だから19k+5・・・(2) と置き換えることもできる。
 同じ数だから、
  14m+12=19k+5 が成り立つ。整理すると、
  14m+7=19k (ただしm,kはできるだけ小さい自然数)・・・(3)
 よく眺めると左辺は7で割り切れる。すなわち
  7(2m+1)=19kだから、右辺も7で割り切れるはずだ。19は7で割り切れないから、kが7で割り切れる。
 すなわちk=7s(sは自然数。)と書けるけれどkはできるだけ小さい自然数だからK=7と絞れる。
 よって(2)に代入すれば求めるxは138と求まる。
 要するに(3)の式を見て、どのように料理するかを thinkすることでしょう、教わる必要はない、自力で考えることが大切です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/09/07 21:25

x=14a+12=19b+5


となるa,bが存在します。

整理すると
14a-19b+7=0  ・・・(★)

ユークリッドの互除法を使って
a,bの特解を求める(計算省略)。

a=9,b=7が一つの解なので
a=9+19j,b=7+14k
が(★)の一般解。

この中でxが最小になるのは
j=k=0なのでこれを当てはめて
xの値を得ます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/09/06 20:40

こういう問題は地道にするしかないと思います。


自分は以下の通りにやりました。
まず、
14*X+12=19*Y+5
の方程式が成り立ちます。
これを書き換えると
Y=(14*X+7)/19
となります。
XもYも整数ゆえ、(14*X+7)において、Xを一つずつ大きくしていき
が初めて19の倍数となるXが最小値です。

19の倍数は
19、38、57,76,95,114,113,・・・・
これらから7を引くと
11、31、50、69、107、126・・・・・
上記で14で割れる数字が126で登場しました。
つまり
X=9

以上より
14×9+12=138が回答になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2014/09/06 19:17

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