不等式 a<b を使って c<d を示す時

『不等式 a<b を使って c<d を示したい時、
(1) a-c < b-d を示せば良い（ a-c >0のとき）
(2) a-c > b-d を示せば良い（ a-c <0のとき）』

これはあっていますでしょうか？

一方、
『 a<b のとき、a+d > b+c が示せれば c<d が示せる』
というのはaとcの大小関係に関わらず成り立つ気がしてしまうのですが
a+d > b+c　は　a-c > b-d　なので(2)と同じ式になります・・・。


混乱してしまい困っています。
よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： asuncion 回答日時： 2014/09/10 22:17

不等式a < b（つまり2 < 3）を使って

c < d（つまり1 < 2）を示したい。

a = 2, b = 3, c = 1, d = 2のとき、
(1)a - c > 0のとき、a - c < b - dであることを示せばよいか？
確かにa - c > 0であるが、
a - c = b - d
であり、
a - c < b - d
ではない。
よって、
a - c > 0のとき、a - c < b - dであることを示せばよいか？
という問いに対する答えは「いいえ」。


不等式a < b（つまり1 < 2）を使って
c < d（つまり2 < 3）を示したい。

a = 1, b = 2, c = 2, d = 3のとき、
(2)a - c < 0のとき、a - c > b - dであることを示せばよいか？
確かにa - c < 0であるが、
a - c = b - d
であり、
a - c > b - d
ではない。
よって、
a - c < 0のとき、a - c > b - dであることを示せばよいか？
という問いに対する答えは「いいえ」。

この回答へのお礼

迅速なご回答ありがとうございます。
元々数列の帰納法の問題でつまずいたのですが、（以下見にくくて申し訳ありません）

1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/k^2 < 2 - 1/k　(1) が成り立つとき、
1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < 2 - 1/(k+1) 　(2)を示したい

というときに

→(2)と(1)の各辺をひいて
1/(k+1)^2 < 2 - 1/(k+1) - (2 - 1/k) を示せばよい

としていいのでしょうか？

お礼日時：2014/09/10 22:41

No.5 回答者： quaestio 回答日時： 2014/09/10 22:55

これならばわかりますか？

b-a > 0のとき、d-c > b-aならば、d-c > 0

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2014/09/10 22:19

おっと。

反例の出し方がおかしかった。

＞不等式a < b（つまり2 < 3）を使って
＞c < d（つまり1 < 2）を示したい。

＞不等式a < b（つまり1 < 2）を使って
＞c < d（つまり2 < 3）を示したい。

先の回答における上記の文のうち、
つまり何とか
の部分（要するにカッコの中）は不要です。

この回答へのお礼

先ほどは、ご回答ありがとうございました。

もう一つのご回答へのお礼に書いたことですが、
改めて質問をたてたところ、解決いたしました。
そもそも不等式を引き算してはならないということを
忘れていました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2014/09/11 01:09

No.1 回答者： myuki1232 回答日時： 2014/09/10 22:14

(1) は明らかに合っていません。

反例：a=5, b=10, c=2, d=1