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y=logx のグラフと 直線 y=x/4 の交点の座標を求めようと考えているのですが、わかりません。
もしかしてこれは高校までの知識では解けない問題なのですか?
教えてください。
|logx - x| を1から3まで定積分しなさいという問題がありました。これがもし
|logx - x/4| だったらどうするんだろう? と考えた次第です。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

y=log(x)のグラフと直線y=x/4の交点の座標は,


高校の範囲どころか,大学の範囲でも,
正確な値は求められません。
対数関数(超越関数)のグラフと多項式関数の
グラフの交点が求められるのは,かなり特殊な
場合に限られます。

∫_1^3 |log(x)-x| dx については,
正の実数xに対してつねにx>log(x)が成り立つ
ことをもとにして考えるのですから,
本件とは全く別の種類の問題ですね。
(見かけが同じでも,同じ考え方をするとは限らない。)
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この回答へのお礼

さっそくのご解答ありがとうございます。
求められないと聞いて安心(?)しました。もし
|logx - x/4| を1から3まで定積分しなさいという問題だったら、
y=logx と y=x/4 の交点のx座標を求めて、積分範囲を分けて絶対値をはずすということになるんだろうな・・・
と考えて交点がほしくなったわけです。
こんな問題は出題されない、ということですよね?

お礼日時:2004/06/05 11:42

#2です。

#2で、あんなこと書いといておい、みたいな感じですが,少し考えてみて,やっぱり、そんな問題ない気がしてきました。

なので、定積分の問題に限らず、交点の座標が求まらないけど、交点の座標がほしいときは、交点の座標を文字でおいてみる、ということだけ、頭の片隅に入れておいてください。
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この回答へのお礼

つまり、どんなに工夫して問題を考えてもαが消えることはない・・・かもしれない。
ということですか?私もいろいろ考えてみます。
私が勝手に作った問題を考えてくださり感謝しています。

お礼日時:2004/06/05 23:00

>こんな問題は出題されない、ということですよね?


解けない場合がほとんどだと思いますが,解ける場合があっても不思議ではないです。その意味で,出題される可能性はあります。

じゃぁ、どう求めるのかというと、

まず、logx-x/4=0,1≦x≦3の解は唯1つなので、その解をαとおきます。(つまり、交点の座標をαと置いた)

すると、1≦x≦αのとき、|logx-x/4|=x/4-logx
α≦x≦3のとき、|logx-x/4|=logx-x/4となるので、

∫[1≦x≦3]|logx-x/4|dx
=∫[1≦x≦α](x/4-logx)dx+∫[α≦x≦3](logx-x/4)dx

これ以降の計算はできますよね。計算を進めれば、これは、αの式で表されます。

logα=α/4の関係から,もしαが消えれば、

∫[1≦x≦3]|logx-x/4|dx
の値が求まった,ということになりますよね。


この問題でαが消えるかどうかは別にしても,積分の範囲とか,xの係数を適当に選んだり,logの部分をsinにしたり、みたいな事をすれば、αが消える場合があってもおかしくはないですよね。そういう問題では,交点の座標αが求まらなくても,定積分は求まります。

具体例が思い浮かばないので、本当にそんな問題があるかどうかは分かりませんが・・・。

少なくとも,
・交点が具体的には求まらない
・定積分がからんでいる
・交点の座標をαとおけば、答えが求まる
という問題があったのは覚えています。でも、logの部分はsinだったと思います。
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この回答へのお礼

丁寧なご説明ありがとうございました。なーるほど!です。
残念ながらこの場合を計算してみたらαは消えませんでしたが(これは私が勝手に作った問題なので当然か)確かにうまく問題を考えればαが消えることがありそうですね。
大変参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時:2004/06/05 18:16

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