フビニの定理における可積分性について

締切済

質問者：takahashi-to
質問日時：2014/11/13 00:09
回答数：1件

ガンマ関数の正則性を示す際、
積分区間を0→1区間と1→∞区間に分け
例えば1→∞については
複素関数列f_n(z)=∫(1→n)e^(-t)t^(z-1)ｄｔなどとして
モレラの定理を用いてf_n(z)の正則性を示し、
さらにf_n(z)の一様収束性からガンマ関数の正則性が導かれますが、
この、モレラの定理を使う段階で、積分の順序交換を行っています。

積分の順序交換については
フビニの定理からその正当性が保証されるようですが、
フビニの定理の仮定には可積分性が必要です。
e^(-t)t^(z-1)の、ジョルダン閉曲線C×[1,n]上での可積分性はどのように示すのでしょうか？

各f_nについては、
その積分区間[1,n]上と、Re(z)>0内の任意の固定されたジョルダン閉曲線C上で
被積分関数e^(-t)t^(z-1)は有界であるので
可積分であるという認識では間違いでしょうか？

様々な書籍を当っては見ましたが、積分論には疎く、積分論の専門書では理解しきれず、
簡単な本では、肝心の疑問が解決しないという状態です。

フビニの定理を使って累次積分の順序交換をしたいがために可積分性を示したいのに、
可積分性を示すために累次積分で計算している本もありましたがどうにもおかしく感じてしまいます。
非積分関数の絶対値を考えれば、フビニの定理によらず順序交換ができるのでしょうか？
非負値関数に対しては何か定理があったような気がしますが、調べても納得行く解説が得られませんでした。

無知でお恥ずかしい限りですが
考えれば考えるほどわからなくなってきてしまったので、
できるだけ丁寧な回答をよろしくおねがいします。