No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんどは問題の設定がよくわかりました。
この問題は最近質問があったこの問題(↓)http://okwave.jp/qa/q8818084.html
と同じように解けば良い。
まず企業1の利潤最大化問題を解き、企業1の(最大化された)利潤を求める。企業1の利潤をΠ1と書くと
(1) Π1 = P2Y2 - P1Y1 = P2・2Y1^1/2 - P1Y1
Π1をY1で最大化するため、両辺をY1で微分して0とおくと
0 = dΠ1/dY1 = p2・Y1^(-1/1) - P1
よって、
(2) Y1=(P2/P1)^2
となるが、これが企業1の財1の需要量(投入量)だ。企業2も同様に企業2の利潤を投入量Y1を選択することで最大化する。
(3) Π2 = P1Y1 - P2Y2 = P1・2Y2^1/2 - P2Y2
よって上と同じようにして企業2の財2の需要量(投入量)は
(4) Y2 = (P1/P2)^2
となる。よって、企業1の利潤は(2)を(1)へ代入して
Π1 = P2^2/P1
となる(確かめよ!) 同様に企業2の利潤は(4)を(3)に代入することで
Π2 = P1^2/P2
となる。
企業1と企業2の利潤が求められたので、つぎは消費者1と2の財1と財2への需要量を求める。
消費者1と消費者2の財1への需要量は消費者1の所得がM1、消費者2の所得がM2だすると、予算制約のもとでの効用最大化より、それぞれ
M1/2P1
M2/2P2
となることを確かめなさい。ところが、消費者1と消費者2の所得は初期保有の価値プラス自分が所有する企業からの利潤配当からなるから、
M1 = 100P1 + P2^2/P1
M2 = 100P2 + P1^2/P2
よって消費者1と2の財1への需要合計は
(5) M1/2P1 + M2/2P1
= 50 +(1/2) (P2/P1)^2 + 50(P2/P1) + (1/2)/(P2/P1)
である。したがって、財1への需要は財1の消費者需要と企業1の財1投入量の合計は(2)と(5)の和からなるから
(6) 50 + (3/2)(P2/P1)^2 + 50(P2/P1) + (1/2)/(P2/P1)
である。一方財1の供給は消費者1の初期保有100と企業2の財1の生産量Y1からなる。後者は(4)を企業2の生産関数に代入して
2[(P2/P1)^2]^1/2 = 2P2/P1
であるから、財1の供給全体は
(7) 100 + 2(P2/P1)
である。財1の市場の均衡は需要と供給が等しい(6)=(7)のとき達成されるので
(8) 50 + (3/2)(P2/P1)^2 + 50(P2/P1) + (1/2)/(P2/P1) = 100 + 2(P2/P1)
(8)をP2/P1について解けばよい。両辺にP2/P1を掛ければわかるように(8)はP2/P1についての3次方程式になります。計算に間違いがないか確かめてください。
No.3
- 回答日時:
回答2で、3次方程式を解く必要が出てきましたが、3次方程式など解けないという苦情が出そうです。
3次方程式は「特殊」な場合を除いて解けませんが、この場合は「特殊の場合」なので解けるのです。回答2の最後の式において簡単化のためP1/P2=xと置きましょう。すると、50 + 3/2x^2 + 50x +1/2x = 100 + 2x
となる。両辺に2xを掛けて、整理すると
3x^3 + 96x^2 - 100x + 1 = 0
左辺をf(x)とおくと
f(1) = 3 + 96 - 100 + 1 = 0
となり、因数定理(高校の数学を思い出すこと)によって、f(x)はx-1で因数分解できて、
f(x) = (x-1)(3x^2 + 99x - 1)
となる。よって、f(x) = 0の解の一つはx=1だが、3x^2 +99x -1 =0が正の解を持つならそれも均衡解である。チェックしよう。3x^2 +99x - 1 = 0は2次方程式だから、解の公式を用いて
x = [-99±√(99^2 +12)]/6 = [-99±√9813 ]/6
となり、大きい方の解は正だから、これも均衡解である。よって、均衡価格比は
p2/P1 = 1, -16.5 + (√9813)/6
の2つである、ということになる。ちなみに後者の近似値は0.01である。
No.1
- 回答日時:
きちんと問題の設定と仮定を書かないとなんのことかさっぱりわからない。
あなたが書いているところを見ても、第1財の需要量と第2財の需要量をなぜ単純に合計することができるのか?たとえば第1財がりんごで、第2財がミカンなら、りんご1個とミカン3個を合計して4個という数字に意味があるのだろうか?
この回答への補足
すいません><捕捉させていただきました。
消費者1 U(x1、x2)=x1^1/2x2^1/2
初期保有(w1、w2)=(100,0)
消費者2 U(x1、x2)=x1^1/2x2^1/2
初期保有 (w1、w2)=(0,100)
企業1 y2=2(y1)^1/2(第1財を投入して第2財を生産)
企業2 y1=2(y2)^1/2(第2材を投入して第1財を生産)
また、企業1は消費者1が、企業2は消費者2がすべての株式を所有しているものとする
企業が一つの問題の場合は「第1財を投入して第2財を生産」のみなので、需給一致を考えて右辺の投入量だけをマイナスしていたのですが、複数の場合は単純に上記のような考え方でよいのでしょうか?
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