ミクロ経済学の交換経済

ミクロ経済学の交換経済における問題なのですが糸口がつかめません。
どなたかお助けください。

2財2消費者の交換経済を考える。消費者1の効用関数はＵ1（x1,x2)=x1+x2、初期保有は（w1^1,w2^1)=(10,90)、消費者2の効用関数はＵ2（ｘ1、ｘ2）＝min{x1,x2}であり、初期保有は（w1^2,w2^2)=(90,10)とする。消費量は非負であるものとする。

（1）財の価格が（p1,p2)であるとき、消費者1の需要を求めよ。
（2）均衡における二財の価格比を求めよ。
（3）均衡で実現される消費者1の消費量を求めよ。

効用関数がx1x2と積の形のときは需要関数を求める方法が分かるのですが、
和の形だとさっぱりです。もう一つのminも需要関数にするにはどうすればよいのでしょうか。
多分そこさえ突破できればできると思うのですが・・・
どなたか少しでもとき方を教えてください

No.3 回答者： statecollege 回答日時： 2014/11/25 17:59

回答２で回答しましたが、コメントを一言。

あなたは補足コメントで、

＞消費者1は財をどちらか一つだけ選ぶタイプで、x1=x2のケースはなさそうなのですが・

と書いていますが、消費者１にとっては財１と財２は完全代替財ですが、どちらか一つだけを選ぶかどうかは、均衡価格がどうなるかにかかっており、解いてみないとわからない。均衡において価格がP1/P2＜１なら、消費者１は財１だけ選択するし、P1/P2>1なら、財２だけ選択する。価格がP1/P2=1(つまりP1=P2)なら、どちらも消費するのです。事実、回答２で示したように、あなたの予想とは違って、この経済では均衡価格比がP1/P2=1となったので、どちらも消費（しかも同じ量だけ消費）するという結果になっています！

これに対して消費者２にとっては、財１と財２は完全補完財なので、均衡価格比がどうなっても、かならず両財を等しいだけ消費します。

消費者１が均衡において財１（あるいは財２）だけを消費する（あるいは財１と財２の両財を消費するが、消費量は異なる）ように、消費者１あるいは２の初期保有を変更し、P1/P2≠１となるようにすることは簡単です。練習問題として考えてみてください。

No.2 回答者： statecollege 回答日時： 2014/11/25 09:18

＞多分そこさえ突破できればできると思うのですが・・・

と言っているのだから、いろいろ試行錯誤してみたらどうなのですか？
均衡は財１の市場需要＝市場供給のとき成立する（財１の市場の需給が等しくなると、ワルラスの法則によってその価格比のもとで財２の市場も自動的に需給が等しくなる）。財１の市場供給は初期保有量の消費者１と２の合計１０＋９０＝１００に等しいことに注意。
いま仮に均衡価格がP1/P2 > 1なら、財１の市場需要はすでに求めてあるように、0 + (90P1+10P2)/(P1+P2)= (90P1/P2 + 10)/ P1/P2 +1)だから

財１の市場の需給は
(90 P1/P2 + 10)/(P1/P2 + 1) = 100

よってこれをP1/P2に解いて

P1/P2 = -1 < 0

となり、矛盾。P1/P2 < 1と仮定しても同じ（矛盾、確かめよ）。

よって、均衡があるなら、P1/P2＝１。このとき消費者１の財１と財２への需要は、すでに求めてあるようにx1+x2 =100を満たす任意の正の値であり、消費者２の財１の需要量は
　　
(90P1/P2 + 10)/(P1/P2 + 1)= (90 + 10)/(1+1) = 50

となるから、財１市場の需給はx1、x2をそれぞれ消費者１の財１、財２の消費量として

ｘ1+ 50 = 100
x1 + x2 = 100

が成り立つ。よって、均衡においてはp1/P2＝１であり、消費者１の２財の消費量はｘ１＝x2 = 50。

No.1 回答者： statecollege 回答日時： 2014/11/24 22:07

・前の２つの質問の問題、解いてみたの？２要素の投入から１つの財を生産する生産関数を与えられたとき、それから費用曲線を求める問題と予算制約のもとで効用最大化消費量を求める問題とは方法的に同じ問題だ。

前の２つが本当に解けたのなら、この問題もできるはずだ！

・この問題もまた同じ問題がサイトの過去問にあるが、検索してみたのだろうか？最近私が回答した以下の２つを参照されたい。

　　http://okwave.jp/qa/q8377790.html

　　http://okwave.jp/qa/q8831364.html

この回答への補足

ありがとうございます

消費者1の需要はＵＲＬ参考にすると理解できたのですが、
消費者２の需要との均衡の考え方が分かりません。
消費者2は効用関数がminとなっているので、ｘ1＝ｘ2として需要関数を導き出すところまではいけるのですが、消費者1の場合ワケされた3つのケースとを兼ねて均衡をどうやってだしたらよいのでしょうか？
消費者1は財をどちらか一つだけ選ぶタイプで、x1=x2のケースはなさそうなのですが・・・

補足日時：2014/11/24 23:46