P(x)がxの多項式であり、P(x)=0がxの恒等式である場合、P(x)の各項の係数は0になります。そこで疑問があるのですが、P(x)は一般的なx、x^2、x^3のような項からなる多項式ではなく、sinやsign関数が混ざった場合や、他変数関数の場合でもこれは成立するのでしょうか?
例えばa*x/cosx+b*x^2sinx=0の場合、a=b=0は成り立つのか、ということです。この例の場合は成り立ちますが、(xの範囲指定が必要ですが、それは無視していただいても構いません)、一般的な証明が知りたいです。
ネットで調べたところ、あまりそのようなものが無かったので、ここで質問させていただきました。
ご教授よろしくお願いします。
A 回答 (5件)
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No.2
- 回答日時:
命題「x= Π/2 + nΠ、n=0,1,2,...を除くすべてのxについて
ax/cosx + bx^2sinx = 0
が成り立つとする。このとき、a=b=0である」
を証明する。背理法を用いる。いま、a≠0としよう。すると、x=Πとおくと
上の式の左辺はcosΠ=-1,sinΠ=0より
-aΠ = 0
よって、a=0、矛盾(なぜ?)。よって、a=0でなければならない。
つぎに、a=0かつb≠0としよう。すると、上の式の左辺は、x=Π/2とおくと、sinΠ/2=1より
b(Π^2)=0
よって、b=0となり、矛盾。したがって、上の式がx=Π/2+nΠを除くすべてのxについて成り立つなら、a = b = 0である。
No.3
- 回答日時:
回答2の訂正です。
とくに、背理法は必要ありません。つぎのように訂正します。命題「x= Π/2 + nΠ、n=0,1,2,...を除くすべてのxについて
ax/cosx + bx^2sinx = 0
が成り立つとする。このとき、a=b=0である」
を証明する。いま、a≠0としよう。すると、x=Πとおくと
上の式の左辺はcosΠ=-1,sinΠ=0より
-aΠ = 0
よって、a=0でなければならない。
つぎに、a=0が示されたので、a=0とおいた上の式の左辺で、x=Π/2とおくと、sinΠ/2=1より
b(Π^2)=0
となる。よって、b=0となる。したがって、上の式がx=Π/2+nΠを除くすべてのxについて成り立つなら、a = b = 0でなければならない。
No.4
- 回答日時:
回答3の訂正。
回答2を訂正したとき、訂正のし忘れがありました!以下のように訂正してください。回答2の訂正です。とくに、背理法は必要ありません。つぎのように訂正します。
命題「x= Π/2 + nΠ、n=0,1,2,...を除くすべてのxについて
ax/cosx + bx^2sinx = 0
が成り立つとする。このとき、a=b=0である」
を証明する。いま、x=Πとおこう。すると、 上の式の左辺はcosΠ=-1,sinΠ=0より
-aΠ = 0
よって、a=0でなければならない。
つぎに、a=0が示されたので、a=0とおいた上の式の左辺で、x=Π/2とおくと、sinΠ/2=1より
b(Π^2/4)=0
となる。よって、b=0となる。したがって、上の式がx=Π/2+nΠを除くすべてのxについて成り立つなら、a = b = 0でなければならない。
No.5
- 回答日時:
a*f(x)+b*g(x)=0 なら a=b=0
が成り立つとき、f(x)とg(x)は一次独立といいます。
「関数論」と言われる分野のの本を読めば、もっと一般的な話がたくさん載っています。
とりあえず、端的に質問の条件に答えると。
f(x1)*g(x2) ≠ f(x2)g(x1)
が成り立つような、相異なるx1とx2が(ただ一組でも)存在すれば
a*f(x)+b*g(x)=0 なら a=b=0
が成り立ちます。
証明は、a,bに関する連立一次方程式
a*f(x1)+b*g(x1)=0
a*f(x2)+b*g(x2)=0
は、行列式がゼロでなければ a=b=0 以外の解を持たない、という線形代数の基本的な定理を使えばよいです。
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