sinxと 2cosxのx>0での最初の交点の座標はどうやってもとめるんでしょうか?

A 回答 (4件)

shushouです。



そういう問題だったんですね。
失礼しました。
この種の積分区間が具体的に求まらないタイプの積分は
大学入試によく出るので、masuo_kun さんの回答を見て
しっかりできるようになってくださいね。
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補足します。


tanα=2に気づかなくても、
(sinα)^2+(cosα)^2=1と、sinα=2cosα を連立すれば、
5*(cosα)^2=1となり、
cosα=1/√5 を導くことができます。
ていうか、こっちの方が楽ですね。
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本当の問題は∫(0~π/2)|sinx-2cosx|dxですね。



グラフよりこの区間で sinx-2cosx=0 を満たすxの値はただ1つで、それをαとすると、
∫(0~α)(2cosx-sinx)dx+∫(α~π/2)(sinx-2cosx)dx
=[2sinx+cosx](0~α)+[-cosx-2sinx](α~π/2)
=2sinα+cosα-1-2+2sinα+cosα
=-3+2(2sinα+cosα)
=-3+10cosα (sinα=2cosαより)
また、tanα=2と(tanα)^2+1=(1/cosα)^2より、
cosα=1/√5 (αは第1象限の角だから正)
よって、求める積分の値は-3+2√5
交点のαがきれいに出なくても消去できますね。
構わず計算してみて、この等式をどう利用するかがポイントなんですね。
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sin x=2cos x は tan x=2 


と書き換えられます。有名角ではありませんね。
三角比の表でtan x=2 を探すとxは63°から64°の間
であることが分かります。
sinxと 2cosxのx>0での最初の交点の座標を求めよ。
なんて問題は絶対にでませんから安心してください。
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この回答へのお礼

あら?というかですね、もともとsin xー2cos xの全体に絶対値をつけて、
それの0~π/2までの積分をしようとしていたんですが・・・・ 

お礼日時:2001/06/11 23:51

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>僕自身の考えとしては、それはできるかもしれないが、とても複雑で、
>それに費やす膨大な時間は無価値だろう。
>それをもとに、lim[x→0](sinx)/x=1を証明するのは、たぶん、どの数学者もやっていない。
2つ言いたいことがあって、

一つは無価値ではないということ。今回話題に登っている「角度」や「円弧」の実体が何かを考えることは数学的に非常に有意義なことです。
大きく遠回りして結論に辿り着いたとするならば、ショートカットで結論に辿り着いた時よりも遼かに多くのことを学び、そして得られた結論が fjfsgh さんの中でリアリティを持つでしょう。

もう一つは、ここで私がちょろちょろっと書いたことなど、微々たる量だし、更に厳密性を追及したとしてもさほど複雑ではありません。
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何度も言うように、どこが「曖昧だ」と思うのか書かれていないのでフォローのしようがありません。

fjfsgh さんが「曖昧だ」と感じている箇所がどうしても把握できません。

>僕自身の考えとしては、それはできるかもしれないが、とても複雑で、
>それに費やす膨大な時間は無価値だろう。
>それをもとに、lim[x→0](sinx)/x=1を証明するのは、たぶん、どの数学者もやっていない。
2つ言いたいことがあって、

一つは無価値ではないということ。今回話題に登っている「角度」や「円弧」の実体が何かを考えることは数学的に非常に有意義なことです。
大きく遠回りして結論に辿り着いたとするならば、ショー...続きを読む


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