三角関数の問題を教えてください。

三角関数の問題がどうしても解けません。

「cosＡ+cosＢ=sinＣ」の条件を満たす三角形ＡＢＣはどのような形の三角形か？

答えは∠Ａ=90°または∠Ｂ=90°の直角三角形になると思うのですが…。

よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ekitaigenzou 回答日時： 2003/08/20 20:57

かなり怪しいですが．

ひとつの考え方ということで．．．

三角形なので， C = π - A - B

sinC = sin(π - A - B) = sin(A+B)

よって，問題は，
cosＡ+cosＢ=sinＣ = sin(A+B) ... (1)
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB (加法定理あってますか？)

cosＡ+cosＢ=sinＣ = sinAcosB+cosAsinB
変形して，
cosA(1-sinB)+cosB(1-sinA) = 0

両辺に cosAcosBを乗じて，
cosB(cosA)^2(1-sinB)+cosA(cosB)^2(1-sinA) = 0

(cosA)^2 = 1-sinA^2 , (cosB)^2 = 1-sinB^2　より

cosB(1-(sinA)^2)(1-sinB)+cosA(1-sinB^2)(1-sinA) = 0

cosB(1-(sinA))(1+(sinA))(1-sinB)+cosA(1-sinB)(1+sinB)(1-sinA) = 0

両辺を(1-sinA)(1-sinB)でくくると，

(1-sinA)(1-sinB){cosB(1+sinA)+cosA(1+sinB)}=0

これで因数分解できたので，
1-sinA=0
または，
1-sinB=0
または，
cosB(1+sinA)+cosA(1+sinB) = 0


1-sinA=0 より　sinA=1　より， A = π/2 +　2nπ 0<A<πより， A=π/2
1-sinB=0 より　sinB=1　より， B = π/2 +　2nπ 0<B<πより， B=π/2
cosB(1+sinA)+cosA(1+sinB) = 0 より変形すると，
cosB+cosA+sin(A+B)=0
これを (1)へ代入すると，
2sin(A+B)=0
A+B= nπ (n=0,1) c=π-(A+B)　に代入すると，C=0 または，πとなりこの解は不適．(0<C<πだから)

よって， A=π/2 または，B=π/2

ちょっと複雑に考えすぎたかもしれません．

それでは．

この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。

たいへんよく理解できました。
数1の単元だというので、加法定理・和積の公式を考えていませんでした。

お礼日時：2003/08/21 11:24

No.5 回答者： mirage70 回答日時： 2003/08/20 22:26

三角形ＡＢＣの頂点CよりABに垂線を下ろし、交点をHとすると、cosA=AH/AC , cosB=BH/BC

∠ACH=∠α , ∠BCH=βとおくと、
sinC=sin(α+β)=sinα*cosβ+cosα*sinβ
=(AH/AC)*(CH/BC)+(CH/AH)*(BH/BC)
cosA+cosB-sinC=(AH*BC/AC*BC)+(BH*AC/AC*BC)-(AH*CH/AC*BC)-(CH*BH/AC*BC)
AC , BCは２辺よりAC≠０ , BC≠0
AH*BC+BH*AC-AH*CH-CH*BH=0
AH(BC-CH)+BH(AC-CH)=0
BC-CH>=0 , AC-CH>=0
(△CHBにおいて、CBは斜辺となる。△ACHにおいてACは斜辺)
よって、成立するのはBC=CHのときに、BH=0となる。
または、AC=CHのときに、AH=0となる。
即ち、プラスで結ばれた式を同時に０に出来る。
よって、∠A=∠Rまたは∠B=∠Rとなる。

この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。

たいへんよく理解できました。
数１の単元だというので、加法定理・和積の公式を考えていませんでした。

この解法はいくら考えても私には思いつきません。

お礼日時：2003/08/21 11:27

No.4 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/08/20 21:24

yuji69さん、こんばんは。

cosA+cosB=sinC

cosA+cosB=2cos(A+B)/2cos(A-B)/2と変形して、

A+B=Π-C
であるから

cosA+cosB=2cos(A+B)/2cos(A-B)/2=2cos(Π-C)/2cos(A-B)/2
=2sin(C/2)cos(A-B)/2

一方、
sinC=sin2(C/2)とみると
sinC=2sin(C/2)cos(C/2)

2sin(C/2)cos(A-B)/2=2sin(C/2)cos(C/2)より
2sin(C/2){cos(A-B)/2-cos(C/2)}=0

sin(C/2)=0または{cos(A-B)/2-cos(C/2)}=0

sin(C/2)=0のとき、
C/2=Π/2
C=Π
となって、0<A,B,C<Πに矛盾するので、この場合はなし。

よって、{cos(A-B)/2-cos(C/2)}=0
ここで、三角関数の公式から

-2sin{(A-B)/2+(C/2)}/2sin{(A-B)/2-(C/2)}/2=0
sin(A-B+C)/4=0またはsin(A-B-C)/4=0

ここで、C=Π-(A+B)を代入すると
sin(A-B+C)/4=sin(Π-2B)/4=sin(Π/4-(B/2))=0
Π/4-B/2=0
B/2=Π/4
B=Π/2(0<B<Π）

sin(A-B-C)/4=sin(A/2-Π/4)=0
A/2=Π/4
A=Π/2(0<A<Π)

となるので、A=Π/2またはB=Π/2
つまり、∠Ａ＝∠Ｒまたは∠Ｂ＝∠Ｒ（直角）
がいえました。

この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。

たいへんよく理解できました。
数１の単元だというので、加法定理・和積の公式を考えていませんでした。

お礼日時：2003/08/21 11:25

No.3 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/08/20 21:16

左辺を和積の公式で変形します。

右辺を２倍角の公式で変形します。
(A+B)/2が出てくるのでA+B=180°-Cを使って直します。

一度やってみてください。

この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございました。

数１の単元だというので、加法定理・和積の公式を考えていませんでした。

お礼日時：2003/08/21 11:26

No.1 回答者： rei00 回答日時： 2003/08/20 20:38

> 答えは∠Ａ=90°または∠Ｂ=90°の直角三角形になる

> と思うのですが…。

　何故そうなると思うのかを補足されてはいかがですか？

　そうすれば，親切な方からの適切な回答が得られるかと思いますが。。。

この回答への補足

ごめんなさい。

この問題は別の人を介して質問されたもので、
「答えは∠Ａ=90°または∠Ｂ=90°の直角三角形になるらしいけど、解き方がわからない。」
ということです。

ですから、私も解答を確認していないので、このような質問の仕方になってしまいました。

補足日時：2003/08/20 21:00