sinθ、cosθ、tanθの問題

tanθ＋1/tanθ＝2のとき、次の式の値を求めなさい。

(1)1/sin^2θ＋1/cos^2＝「4」

(2)1/sin^4θ＋1/cos^4＝「8」

上記2題の「」の値の求め方を教えて下さい。

また、
この手の問題を解くポイントがありましたら
併せてご回答のほう宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/09/27 23:35

ｔａｎΘ＝ｓｉｎΘ／ｃｏｓΘ　ですから、

tanθ＋1/tanθ＝ｓｉｎΘ／ｃｏｓΘ＋ｃｏｓΘ／ｓｉｎΘ
　　　　　　　＝（（ｓｉｎΘ）＾２＋（ｃｏｓΘ）＾２）／ｃｏｓΘｓｉｎΘ
　　　　　　　＝１／ｃｏｓΘｓｉｎΘ
となり、この値が２なので、ｃｏｓΘｓｉｎΘ＝１／２　です。・・・（あ）

（１）
与式＝（（ｓｉｎΘ）＾２＋（ｃｏｓΘ）＾２）／（ｃｏｓΘ）＾２（ｓｉｎΘ）＾２
　＝１／（ｃｏｓΘｓｉｎΘ）＾２
なので、これに（あ）の値を代入して下さい。

（２）
与式＝（（ｓｉｎΘ）＾４＋（ｃｏｓΘ）＾４）／（ｃｏｓΘ）＾４（ｓｉｎΘ）＾４
　　＝（（（ｓｉｎΘ）＾２＋（ｃｏｓΘ）＾２）＾２－２ｃｏｓΘ＾２ｓｉｎΘ＾２）／（ｃｏｓΘ）＾４（ｓｉｎΘ）＾４
　　＝（１－２ｃｏｓΘ＾２ｓｉｎΘ＾２）／（ｃｏｓΘ）＾４（ｓｉｎΘ）＾４
なので、これに（あ）の値を代入して下さい。

この問題の場合、（ｓｉｎΘ）＾２と（ｃｏｓΘ）＾２の和が１になることを利用しています。三角関数を扱う時の定石のひとつですね。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/09/28 10:03

2人の回答者は思考の盲点に陥っているようだ。

手を動かす前に、問題をよく見て、頭を動かすと良い。

tanθ＋1/tanθ＝2　より、これを解くと、tanθ＝1だから、θ＝45°、or、225°。
(1)　θ＝45°のとき、sinθ＝1/√2、cosθ＝1/√2　これを求める式に代入するだけ。
(2)　θ＝225°のとき、sinθ＝-1/√2、cosθ＝-1/√2　これを求める式に代入するだけ。

θ＝45°、or、225°　だが、2乗と4乗だから、どちらの場合も正になる。従って、答えは同じ。
それが分かってれば、場合わけの必要もない。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/09/28 00:07

(1)

tanθ＋1/tanθ＝2
両辺自乗して
1+tan^2θ+1+cot^2θ=4
公式　1+tan^2θ=1/cos^2θ, 1+cot^2θ=1/sin^2θ　…(☆)
を適用すると
1/sin^2θ＋1/cos^2θ＝「4」
となる。

(2)
1/sin^4θ＋1/cos^4θ
=(1/sin^2θ+1/cos^2θ)^2-2(1/sin^2θ)(1/cos^2θ)
=4^2-2(1+cot^2θ)(1+tan^2θ) (∵(1)の結果と公式(☆))
=16-2(2+cot^2θ+tan^2θ)
=16-2(cotθ+tanθ)^2
=16-2*2^2　(∵与条件より)
=「8」