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1)n=1のとき
n^3+5n=6
これは6の倍数である。
2)n>1である、あるnについて
n^3+5nは6の倍数であることを仮定。すなわち
n^3+5n=6m (mは整数) (1)
3)n+1のとき
P=(n+1)^3+5(n+1)
が6の倍数であることを言えばよい。
P=(n+1)^3+5(n+1)=n^3+5n+6+3n^2+3n
(1)を用いて
P=6m+6+3n(n+1)
nが偶数のとき3n(n+1)は6の倍数
nが奇数のとき(n+1)が偶数になるので3n(n+1)は6の倍数
以上よりPは6の倍数になる。
1)~3)から数学的帰納法によって、すべての自然数nについて、n^3+5nは
6の倍数であることが証明された。
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