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No.1
- 回答日時:
v↑・∇↑v↑はベクトルv↑とテンソル∇↑v↑の内積の意味です。
∇↑v↑=∇↑⊗v↑はベクトル演算子∇↑とベクトルv↑のテンソル積(⊗で表す)によって生成される
3×3のテンソルでそのij成分は
∂Vi/∂j (i,j=1,2,3)
です。
これに前から横ベクトルv↑(v1,v2,v3)を作用させると
ベクトルF↑(v1∂Vi/∂x1+v2∂Vi/∂x2+v3∂Vi/∂x3,v1∂V2/∂x1+v2∂V2/∂x2+v3∂V2/∂x3,
v1∂V3/∂x1+v2∂V3/∂x2+v3∂V3/∂x3)
が生成されます。
演算子としてv↑と∇↑との形式的な内積
v↑・∇↑=v1∂/∂x1+v2∂/∂x2+v3∂/∂x3
を定義すると
F↑=(v↑・∇↑v1+v↑・∇↑v2+v↑・∇↑v3)=(v↑・∇↑)v↑
となり
結局
v↑・(∇↑⊗v↑)=(v↑・∇↑)v↑
となります。
左辺ではテンソルの計算が必要だったのに対し、右辺ではベクトル演算子v↑・∇↑をvの各成分に作用させるだけでよいということを示しています。
流体力学のナビェ・ストークスの方程式は
∂v↑/∂t+(v↑・∇↑)v↑=f↑ (f↑は外力項)
の形で書かれている場合が多いでしょう。
これからわかるようにv↑・∇↑は(1/時間)の次元を有し、(v↑・∇↑)v↑は加速度の次元になります。
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