はじめまして。三角関数の積分公式をいろいろ調べたのですが∫√sinxdxの
積分方法がどうしても見つかりません。解る方はぜひご回答お願いします。

A 回答 (1件)

この積分は初等関数では表されません.


sin x = t^2 とおくと
cos x dx = 2t dt で,cos x = √(1-sin^2 x) = √(1-t^4)
ですから,結局
2t^2 dt / √(1-t^4)
の積分で,確かこれは楕円積分に帰着されるはずです.
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Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q三角関数を使わずに∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
によると、
π:=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

π:=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

π:=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということですが、

∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということを三角関数を使わずに示すにはどうしたらよいのでしょうか?
三角関数を使わずに、という理由は、
arcsin(x)=∫[0,x]1/√(1-x^2) dx
というのが三角関数の定義として考えたいからです。

Aベストアンサー

∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=[x√(1-x^2)][-1,1]+∫[-1,1]x^2/√(1-x^2) dx
=-∫[-1,1]√(1-x^2) dx+∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

Q2B範囲の受験 定積分 体積 出題される?

カテゴリを迷ったのですが、まずはこちらで質問させてください

現行課程において大学受験の数学で「2Bが範囲」と銘打っているのに
定積分を用いて体積を求める問題が出題されたことはありますか?
(【定積分を使って求積すると楽な問題】とかでは無く
【実質的に定積分を使って求積しないと
試験時間内に正解できないような問題】という意味です)

それというのも、現行課程において定積分を用いて体積を求める手法が
3Cに入るのか、2Bに入るのかわかりにくいのです
建前上は3Cということになっているようなのですが
青チャート2Bですら「発展」という扱いで、定積分を用いた体積を求める手法を
紹介しているのです

Aベストアンサー

京都大学2002年後期文系数学の最後の問題がそれですね。
##1つ前の課程ですが、積分についての扱いは変わってないはずなので。

Q定積分∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx が解けません。

∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx を解く問題なのですが、公式に当てはめて、
∫√(1-x^2)dx = 1/2*(x√(1-x^2)+arcsinx)
これに積分範囲の[1/√3→1]を代入したのですが、arcsin(1/√3)が計算できませんでした。
答えは (π-2)/6 となるみたいなのですが、電卓等を使わずに計算できるのでしょうか。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

I=∫[a→1]√(1-x^2)dx

これは中心が原点にある、半径1の半円のx=aからx=1までの部分の面積です。
扇形の面積から直角三角形の面積を引けば出てきます。
π/6は60°の扇形の面積です。
この場合のaの値は1/2です。
I=π/6-√3/8
になるはずです。
π/6が出てくるのはこの時だけだと思います。

Q電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのよう

電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのようになりますか?

Aベストアンサー

>ただ、電束密度Dと表面電荷密度ρ(C/m^2)の関係をもとめたいのです。
>マクスウェル方程式のdivD=ρを用いるのですか?

divD=ρこそが質問者さまが欲している関係式なのでは?
divが微分演算子なので、これが微分形。
この式を体積積分して、Gaussの定理を用いて積分形を得ます。

Qある積分の問題。∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|

ある演習問題で
∫1/√(x^2+A)
という形が出てきて、それが解けずに解答を見たら、
∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|
という記述で、この積分の問題は済まされていました。逆算すると、確かにそうなるのですが、なかなかこの形を直接考え出すのは、難しい気がします。…ので、単純な暗記になると思うのですが、覚えにくい形ですよね…。
何か右辺を導き出すような考えの手順のようなものはあるでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

高校範囲だと、#1の方のように、
t = x+√(x^2+A)
という置換を覚えるものです。

∫1/(1+x^2)dx という形をみたら、x=tan(t) と置く、ていうのと同じ感じで、
∫1/√(1+x^2)dx という形をみたら、t=x+√(1+x^2) と置くものなんです。
この積分は、けっこうよく出てくるので、覚えておいて損はないです。

大学生であれば、#2の方のように、x=sinh(t) と置換するってのが常道でしょうけど。

Q重積分の体積

重積分の体積の問題で分からないものがあります。
どなたか解説頼みます(__

(1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。
(2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積
(3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。

(1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか?
(2)図示できなので範囲もわからないです^^;

それさえできればあとは積分するだけですよね?

(1),(2)の疑問を解説して下さい(__

Aベストアンサー

#1,#2です。

(1)
(1)も立体の図を作りましたので添付します。

A#1で書いた積分はできましたか?

当方の計算では「V=4π」と出ています。

(2)
当方の計算では「V=π/6」と出ています。

Q積分 ∫√(4-x^2)dxについて

不定積分の問題なのですが、
∫√(4-x^2)dxの答えがどうしても導けません。
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Aベストアンサー

∫√(4-x^2)dx
=4∫(cos(t))^2dt←x=2sin(t),|t|≦π/2とおく。
=2∫(1+cos(2t))dt
=2t+sin(2t)+C
=2 arcsin(x/2)+(x/2)√(4-x^2)+C

ここで、
sin(2t)=2sin(t)cos(t)=2 sin(t)√(1-(sin(t))^2)=
=x√(1-(x/2)^2)=(x/2)√(4-x^2)

Q2重積分を使った球の体積の求め方

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
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Aベストアンサー

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
ですから,
微小体積 z dx dy を 領域 0≦ x^2 + y^2 ≦ R^2
について積分すればいいでしょう.

Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
√(x^2+1)=t-x
と、置き換えて積分していくのですが、僕は
√(x^2+1)=t
とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む


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