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(問題)
鋭角3角形ABCの辺BC、cA、AB上にそれぞれ点P、Q、Rを取る。
三角形PQRの周の長さが最小になるようにP,Q,Rの位置を定めよ。
(解答)
まず、Pを固定し、QとRを動かす。ABに対してPと対称な点をP‘、ACに対してPと対称な点をP‘‘とする。
PQ+QR+RP=P‘‘Q+QR+RP‘≧P‘P‘‘(=はP‘QRP‘‘が同一直線上にあるとき)
次に、Pを動かす。
三角形AP‘P‘‘について、∠P‘AP‘‘は一定であり、AP‘=AP‘‘であるから、
Pを動かしても、2AP‘対P‘P‘‘の比は一定である。よって、最小となるのはAP垂直BCの時。「QとRも同様に考えられる。
よって、三角形PQRの周長を最小にするためには、AP垂直BC、BQ垂直CA、CR垂直ABとすればよい。」
(疑問)
「」の部分がわかりません。
(Pを固定したときのPQRの周長の最小値を求め、次にPを動かして考えたのですから、
AP垂直BCかつP‘QRP‘‘が同一直線上という状態の時、PQRの周長は最小となるのではないのですか?2つ以上のものが動く場合、1つを固定した状態で最小となるのはどういう状態の時か?を考え、その状態下で残りの1つを動かし、最小値を求めると覚えているのですが、これではダメなのでしょうか?)
![「高校数学、線分長の最小値」の質問画像](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/8/542212205_5560fb3a9203c/M.png)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
最小値を求める問題ならそれでいいですよ。
でも、この問題は「P,Q,Rの位置を定めよ」ですよね。
点Pの位置は、AP⊥BCとなる点とするのはいいとして、点Q,Rはどう説明しますか?
「ABに対してPと対称な点をP‘、ACに対してPと対称な点をP‘‘としたとき、直線P‘P‘‘とABとの交点をR、直線P‘P‘‘とACとの交点をQとする」
とでも説明しますか。
それよりは、
「P,Q,Rの位置は、AP⊥BC、BQ⊥CA、CR⊥ABとなる点」
としたほうが簡潔です。
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